二分查找
二分查找又叫做折半查找，二分查找针对的是一个有序的数据集合，查找思想有点类似分治思想。
每次都通过跟区间的中间元素对比，将待查找的区间缩小为之前的一半，直到找到要查找的元素，或者区间被缩小为 0。
查找效率
假设数据大小是 n，每次查找后数据都会缩小为原来的一半，也就是会除以 2。最坏情况下，直到查找区间被缩小为空，才停止。
那么被查找的区间变化就是：n，n/2，n/4，n/8，n/16...n/2的k次方。
这是一个等比数列，其中 n/2的k次方=1 时，k 的值就是总共缩小的次数。
而每一次缩小操作只涉及两个数据的大小比较，所以，经过了 k 次区间缩小操作，时间复杂度就是 O(k)。
通过 n/2k=1，我们可以求得 k=log2n，所以时间复杂度就是 O(logn)。
O(logn)
O(logn)这种对数时间复杂度，是一种极其高效的时间复杂度，有的时候甚至比时间复杂度是常量级 O(1) 的算法还要高效。
因为 logn 是一个非常“恐怖”的数量级，即便 n 非常非常大，对应的 logn 也很小。
比如 n 等于 2 的 32 次方，大约是 42 亿。也就是说，如果我们在 42 亿个数据中用二分查找一个数据，最多需要比较 32 次。
而O(1) 有可能表示的是一个非常大的常量值，比如 O(1000)、O(10000)。
所以，常量级时间复杂度的算法有时候可能还没有 O(logn) 的算法执行效率高。
二分查找的局限性（适用场景）
二分查找依赖与顺序表结构。
主要原因是二分查找算法需要按照下标随机访问元素，数组按照下标随机访问数据的时间复杂度是 O(1)
如果换做链表的话，链表随机访问的时间复杂度是 O(n)。如果数据使用链表存储，二分查找的时间复杂就会变得很高。
二分查找针对的是有序数据，且数据的插入操作不频繁
二分查找要求数据必须是有序的，如果数据没有序，我们需要先排序。排序的时间复杂度最低是 O(nlogn)。
如果我们针对的是一组静态的数据，没有频繁地插入、删除，我们可以进行一次排序，多次二分查找。
这样的话排序的成本可以被均摊，二分查找的边际成本就会比较低
如果我们的数据集合有频繁的插入和删除操作，要想用二分查找，要么每次插入、删除操作之后保证数据仍然有序。
要么在每次二分查找之前都先进行排序。针对这种动态数据集合，无论哪种方法，维护有序的成本都是很高的。
二分查找只能用在插入、删除操作不频繁，一次排序多次查找的场景中。
数据量太小都不适合二分查找
如果要处理的数据量很小，完全没有必要用二分查找，顺序遍历就足够了。
比如我们在一个大小为 10 的数组中查找一个元素，不管用二分查找还是顺序遍历，查找速度都差不多。
只有数据量比较大的时候，二分查找的优势才会比较明显。
但是，如果数据之间的比较操作非常耗时，不管数据量大小，都推荐使用二分查找
因为二分查找会大大的减少比较的次数，而比较次数的减少会大大提高性能，这种情况下二分查找就比顺序遍历更有优势。
数据量太大都不适合二分查找
二分查找的底层需要依赖数组这种数据结构，而数组为了支持随机访问的特性，要求内存空间连续，对内存的要求比较苛刻。
如果我们有1GB 大小的数据，希望用数组来储存，那就需要1GB 的连续内存空间。
即便有 2GB 的内存空间剩余，但是如果这剩余的 2GB 内存空间都是零散的。
没有连续的 1GB 大小的内存空间，那照样无法申请一个 1GB 大小的数组，也就不能使用二分查找了。
最简单的二分查找实现
唐纳德·克努特（Donald E.Knuth）在《计算机程序设计艺术》的第 3 卷《排序和查找》中说到：“尽管第一个二分查找算法于 1946 年出现，然而第一个完全正确的二分查找算法实现直到 1962 年才出现。”
二分查找虽然原理极其简单，但是想要写出没有 Bug 的二分查找并不容易。
这里一个最简单的二分查找（最简单的情况就是有序数组中不存在重复元素）
public int bsearch(int[] a, int n, int value) {
int low = 0;
int high = n - 1;
while (low <= high) {
int mid = low + (high - low) / 2;
if (a[mid] == value) {
return mid;
} else if (a[mid] < value) {
low = mid + 1;
} else {
high = mid - 1;
}
}
return -1;
}这里要注意三点：
一、循环结束的条件是low<=high而不是low==high
二、在逻辑上的求中值应该是mid=(low+high)/2，这种写法是存在问题的。如果 low 、high 较大的话，两者之和就有可能会溢出
如果要将性能优化到极致的话，我们可以将这里的除以 2 操作转化成位运算 low+((high-low)>>1)。
因为相比除法运算来说，计算机处理位运算要快得多。
这里要注意不同语言的运算符优先级，Java是+-*/的优先级大于位运算，若写成low+(high-low)>>1则会出现问题。
三、注意low和high的更新，low=mid+1，high=mid-1。
注意这里的 +1 和 -1，如果直接写成 low=mid 或者 high=mid，就可能会发生死循环。
比如，当 high=3，low=3 时，如果 a[3]不等于 value，就会导致一直循环不退出。
上面代码也可以用递归实现，注意递归的中止条件为low>high。
// 二分查找的递归实现
public int bsearch(int[] a, int n, int val) {
return bsearchInternally(a, 0, n - 1, val);
}
private int bsearchInternally(int[] a, int low, int high, int value) {
if (low > high) return -1;
int mid = low + ((high - low) >> 1);
if (a[mid] == value) {
return mid;
} else if (a[mid] < value) {
return bsearchInternally(a, mid+1, high, value);
} else {
return bsearchInternally(a, low, mid-1, value);
}
}常见的二分查找变形问题
一般来说，凡是用二分查找能解决的，绝大部分更倾向于用散列表或者二叉查找树。
即便是二分查找在内存使用上更节省，但是毕竟内存如此紧缺的情况并不多。
求“值等于给定值”的二分查找确实不怎么会被用到，二分查找更适合用在“近似”查找问题。
在这类问题上，二分查找的优势更加明显。用其他数据结构（散列表、二叉树）就比较难实现。
“近似查找问题”常见的如下。
查找第一个值等于给定值的元素
public int bsearch(int[] a, int n, int value) {
int low = 0;
int high = n - 1;
while (low <= high) {
int mid = low + ((high - low) >> 1);
if (a[mid] > value) {
high = mid - 1;
} else if (a[mid] < value) {
low = mid + 1;
} else {
if ((mid == 0) || (a[mid - 1] != value)) return mid;
else high = mid - 1;
}
}
return -1;
}当 a[mid]等于要查找的值时，我们就需要确认一下这个 a[mid]是不是第一个值等于给定值的元素。
如果 mid 等于 0，那这个元素已经是数组的第一个元素，那它肯定是我们要找的；
如果 mid 不等于 0，但 a[mid]的前一个元素 a[mid-1]不等于 value，那说明 a[mid]就是我们要找的第一个值等于给定值的元素。
public int bsearch(int[] a, int n, int value) {
int low = 0;
int high = n - 1;
while (low <= high) {
int mid = low + ((high - low) >> 1);
if (a[mid] >= value) {
high = mid - 1;
} else {
low = mid + 1;
}
}
if (low < n && a[low]==value) return low;
else return -1;
}low<n，若所给值大于数组中的最后一个值，防止low = (n-1) + 1 的情况
查找最后一个值等于给定值的元素
public int bsearch(int[] a, int n, int value) {
int low = 0;
int high = n - 1;
while (low <= high) {
int mid = low + ((high - low) >> 1);
if (a[mid] > value) {
high = mid - 1;
} else if (a[mid] < value) {
low = mid + 1;
} else {
if ((mid == n - 1) || (a[mid + 1] != value)) return mid;
else low = mid + 1;
}
}
return -1;
}如果 a[mid]这个元素已经是数组中的最后一个元素了，那它肯定是我们要找的；
如果 a[mid]的后一个元素 a[mid+1]不等于 value，那也说明 a[mid]就是我们要找的最后一个值等于给定值的元素。
public int bsearch(int[] a, int n, int value) {
int low = 0;
int high = n - 1;
while (low <= high) {
int mid = low + ((high - low) >> 1);
if (a[mid] <= value) {
low = mid + 1;
} else {
high = mid - 1;
}
}
if (high >= 0 && a[high]==value) return high;
else return -1;
}high>=0，若给值小于数组的第一个值，防止 high = 0 - 1的情况。
查找第一个大于等于给定值的元素
public int bsearch(int[] a, int n, int value) {
int low = 0;
int high = n - 1;
while (low <= high) {
int mid = low + ((high - low) >> 1);
if (a[mid] >= value) {
if ((mid == 0) || (a[mid - 1] < value)) return mid;
else high = mid - 1;
} else {
low = mid + 1;
}
}
return -1;
}如果 a[mid]小于要查找的值 value，那要查找的值肯定在[mid+1, high]之间，所以，我们更新 low=mid+1。
对于 a[mid]大于等于给定值 value 的情况，我们要先看下这个 a[mid]是不是我们要找的第一个值大于等于给定值的元素。
如果 a[mid]前面已经没有元素，或者前面一个元素小于要查找的值 value，那 a[mid]就是我们要找的元素。
如果 a[mid-1]也大于等于要查找的值 value，那说明要查找的元素在[low, mid-1]之间，所以，我们将 high 更新为 mid-1。
查找最后一个小于等于给定值的元素
public int bsearch7(int[] a, int n, int value) {
int low = 0;
int high = n - 1;
while (low <= high) {
int mid = low + ((high - low) >> 1);
if (a[mid] > value) {
high = mid - 1;
} else {
if ((mid == n - 1) || (a[mid + 1] > value)) return mid;
else low = mid + 1;
}
}
return -1;
}与查找第一个大于等于给定值的元素同理。
二分查找代码不易写，为了写出BUG free的二分查找代码，一定要注意
终止条件
区间上下界更新方法
返回值选择
