【USACO】JZOJ,Luogu P2690 Apple Catching G （dp-线性动规）

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来源：Luogu P2690，JZOJ

题目描述

很少有人知道奶牛爱吃苹果。农夫约翰的农场上有两棵苹果树（编号为 $1$ 和 $2$）， 每一棵树上都长满了苹果。奶牛贝茜无法摘下树上的苹果，所以她只能等待苹果 从树上落下。但是，由于苹果掉到地上会摔烂，贝茜必须在半空中接住苹果（没有人爱吃摔烂的苹果）。贝茜吃东西很快，她接到苹果后仅用几秒钟就能吃完。每一分钟，两棵苹果树其中的一棵会掉落一个苹果。贝茜已经过了足够的训练， 只要站在树下就一定能接住这棵树上掉落的苹果。同时，贝茜能够在两棵树之间 快速移动（移动时间远少于1分钟），因此当苹果掉落时，她必定站在两棵树其中的一棵下面。此外，奶牛不愿意不停地往返于两棵树之间，因此会错过一些苹果。苹果每分钟掉落一个，共 $T（1<=T<=1000）$ 分钟，贝茜最多愿意移动 $W（1<=W<=30）$ 次。现给出每分钟掉落苹果的树的编号，要求判定贝茜能够接住的最多苹果数。 开始时贝茜在1号树下。

解题思路

• 这应该还是一道较为基本的 $dp$，可以设置状态： $dp[i][j]$ 表示前 $i$ 个苹果移动 $j$ 次可以接住的最多苹果数。
• 至于状态转移方程，其实也没有什么可以多说的，如果 $j$ 为 $0$，也就是说移动 $0$ 次，那么显而易见， $dp[i][j]$ 肯定就是继承 $dp[i-1][j]$ 的值了；否则，就有两种选择：移动或不移动，在 $dp[i-1][j]$ 和 $dp[i-1][j-1]$ 中取较大值，那么怎么处理接到苹果呢？其实很简单，就是利用奇偶的性质，起点在编号为 $1$ 的苹果树下，那么移动 $1$ 次到 $2$ 号，移动 $2$ 次到 $1$ 号，移动 $3$ 次到 $1$ 号……以此类推，如果移动次数为奇数，就在 $2$ 号树下，反之在 $1$ 号树下。
• 那么就可以判断当前是否在掉落苹果的那棵树下：如果 $j$ $mod$ $2+1==a[i]$，显然贝茜能接到苹果，所以 $dp[i][j]++;$
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Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int t,w;
int a[10000],dp[5010][5010];
int main()
{
	freopen("apple.in","r",stdin);
	freopen("apple.out","w",stdout);
	scanf("%d %d",&t,&w);
	for (int i=1;i<=t;i++) scanf("%d",&a[i]);
	for (int i=1;i<=t;i++)
	 for (int j=0;j<=min(t,w);j++)
	 {
	 	if (j==0) dp[i][j]=dp[i-1][j];
	 	 else dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-1]);
	 	if (j%2+1==a[i]) dp[i][j]++;
	 }
	int ans=-0xfffffff;
	for(int i=0;i<=w;i++) ans=max(ans,dp[t][i]);
	printf("%d",ans);
	return 0;
}