[剑指-Offer] 11. 旋转数组的最小数字(二分法、分治、递归)

1. 题目来源

链接：旋转数组的最小数字
来源：LeetCode——《剑指-Offer》专项

2. 题目说明

把一个数组最开始的若干个元素搬到数组的末尾，我们称之为数组的旋转。输入一个递增排序的数组的一个旋转，输出旋转数组的最小元素。例如，数组 [3,4,5,1,2] 为 [1,2,3,4,5] 的一个旋转，该数组的最小值为1。

示例 ：

输入：[3,4,5,1,2]
输出：1

示例 2：

输入：[2,2,2,0,1]
输出：0

3. 题目解析

方法一：二分法

这个题目与[每日一题] 142. 寻找旋转排序数组中的最小值II(数组、二分法、分治、多方法）一模一样，有兴趣的也可看看[每日一题] 141. 寻找旋转排序数组中的最小值(数组、二分法、分治、多方法)难度比 142 题偏小一点，大体思路一致。

当数组中存在大量的重复数字时，就会破坏二分查找法的机制，将无法取得 $O(logn)$ 的时间复杂度，又将会回到 $O(n)$。

比如这两种情况：{1, 0, 1, 1, 1} 和 {1, 1, 1, 0, 1}，

可以发现，当第一个数字和最后一个数字，还有中间那个数字全部相等的时候，二分查找法就崩溃了，因为它无法判断到底该去左半边还是右半边，就无法缩小范围。

针对这种情况，需要打开思路，拿起我们的顺序查找

• 将右指针左移一位（或者将左指针右移一位），略过一个相同数字，这对结果不会产生影响，因为只是去掉了一个相同的数字而已
• 然后对剩余的部分继续用二分查找法，在最坏的情况下，比如数组所有元素都相同，时间复杂度会升到 $O(n)$

参见代码如下：

// 执行用时 :4 ms, 在所有 C++ 提交中击败了96.03%的用户
// 内存消耗 :14.5 MB, 在所有 C++ 提交中击败了100.00%的用户

class Solution {
public:
    int minArray(vector<int>& numbers) {
        int left = 0, right = numbers.size() - 1;
        while (left < right) {
            int mid = left + (right - left) / 2;
            if (numbers[mid] > numbers[right]) 
                left = mid + 1;
            else if (numbers[mid] < numbers[right]) 
                right = mid;
            else 
                --right;
        }
        return numbers[right];
    }
};

方法二：分治法、递归

思想和前一道大致相同，分治、递归即可，不过写法跟之前那道略有不同，只有在 nums[start] < nums[end] 的时候，才能返回 nums[start]，等于的时候不能返回。

比如 [3, 1, 3] 这个数组，或者当 start 等于 end 成立的时候，也可以直接返回 nums[start]，后面的操作跟之前那道题相同，每次将区间 [start, end] 从中间 mid 位置分为两段，分别调用递归函数，并比较返回值，每次取返回值较小的那个即可。

参见代码如下：

// 执行用时 :4 ms, 在所有 C++ 提交中击败了96.03%的用户
// 内存消耗 :14.6 MB, 在所有 C++ 提交中击败了100.00%的用户

class Solution {
public:
    int minArray(vector<int>& numbers) {
        return helper(numbers, 0, numbers.size() - 1);
    }
    int helper(vector<int>& nums, int start, int end) {
        if (start == end) 
            return nums[start];
        if (nums[start] < nums[end]) 
            return nums[start];
        int mid = (start + end) / 2;
        return min(helper(nums, start, mid), helper(nums, mid + 1, end));
    }
};