排序算法：快速排序（quick sort）的思想与实现

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介绍：

快速排序是历史上最著名的算法之一。1959年由托尼霍尔 (Tony Hoare)发明。

目标：

将一个数组按照由低到高（或者由高到低）的顺序排序。

核心思想：

1、基准：在数组中选一个数，作为基准（pivot）

2、分区：将数组根据基准分为三部分（即三个数组）：

less：数组中所有数小于基准
equal：数组中所有数等于基准
high：数组中所有数大于基准

三者组合就是分区上的升序，再在3中对分区升序细化至每个元素

3、递归：对 less 和 high 递归做2中的分区，直到数组中只有一个元素不能再分

实现：

快排根据分区的实现方法和基准的选择不同，有不同的版本，性能也有所不同

1、Kotlin （最容易理解的实现版本）

function quickSort(arr){
	if(arr.length<2) return arr;

	var mid = arr[Math.floor(arr.length/2)];

	var less = arr.filter((x)=>x<mid);
	var equal = arr.filter((x)=>x==mid);
	var high = arr.filter((x)=>x>mid);

	return quickSort(less)+equal+quickSort(high);
}

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2、Lomuto 分区方案

function partitionLomuto(arr, low, high){
	var pivot = arr[high];
	
	var i = low;
	for(j=low;j< high;j++){
		if(arr[j] <= pivot){
			swap(arr,i,j);
			i++;
		}
	}

	swap(arr,i,high);
	return i;
}

function swap(arr,x,y){
	var temp = arr[x];
	arr[x] = arr[y];
	arr[y] = temp;
}

function quickSortLomuto(arr,low,high){
	if(low < high){
		var p = partitionLomuto(arr,low,high);
		quickSortLomuto(arr, low, p-1);
		quickSortLomuto(arr, p+1, high);
	}
}

quickSortLomuto(arr,0,arr.length-1);

3、Hoare 分区方案

function partitionHoare(arr, low, high){
	var pivot = arr[low];
	var i = low-1;
	var j = high+1;
	while(true){
		do{
			j--;
		}while(arr[j] > pivot);

		do{
			i++;
		}while(arr[i] < pivot);

		if(i<j){
			swap(arr,i,j);
		}
		else{
			return j;
		}
	}
}

function quickSortHoare(arr,low,high){
	if(low < high){
		var p = partitionHoare(arr,low,high);
		quickSortLomuto(arr, low, p);
		quickSortLomuto(arr, p+1, high);
	}
}

分析：

快速排序的性能，与基准的选择以及具体的数组有关

如果选择了好的基准，平均的时间复杂度在 O（n log n）

如果选择了糟糕的基准，时间复杂度会降至 O（n^2）

平均的时间复杂度也是 O（n log n）

快速排序算法不是一个稳定的算法

证明：

1、最优情况

在最优情况下，Partition每次都划分得很均匀，如果排序n个关键字，其递归树的深度就为 [log2n]+1（ [x] 表示不大于 x 的最大整数），即仅需递归 log2n 次，需要时间为T（n）的话，第一次Partiation应该是需要对整个数组扫描一遍，做n次比较。然后，获得的枢轴将数组一分为二，那么各自还需要T（n/2）的时间（注意是最好情况，所以平分两半）。于是不断地划分下去，就有了下面的不等式推断：