【AtCoder】【AGC011f】Train Service Planning

Description

有一条地铁线路，n段路，n+1个站，每段路可以同时交汇走两辆车或只能走一辆车，
每个站可以停车，停车不占用线路，
现在每隔Kmin发一次车，分别从起点/终点开向终点/起点，
每段路要走的时间已知，求两个方向的辆车运行时间总和最小

Soluton

因为是每隔Km分钟发一次车，因此考虑在mod K的情况下做，
先把双向的线路忽略，只考虑单向的，
设第i段路要走$A_i$分钟，第i站的停站时间分别为$q_i,p_i$
两个方向的车不会相交，当且仅当：
$(\sum q_{0...i-1}+\sum A_{1..i-1},\sum q_{0...i-1}+\sum A_{1..i})$
与区间
$(\sum p_{i...n}+\sum A_{i..n},\sum p_{i...n}+\sum A_{i-1..n})$
没有交点，
把第二个式子换个方式写：
$(N-\sum p_{0...i-1}-\sum A_{1..i-1},N-\sum p_{0...i-1}-\sum A_{1..i})$

显然，式子是在mod意义下的，同时也可以通过调节使得N为K的倍数，所以整理后即为：
$(\sum q_{0...i-1}+\sum A_{1..i-1},\sum q_{0...i-1}+\sum A_{1..i})$
与区间
$(-\sum p_{0...i-1}-\sum A_{1..i-1},-\sum p_{0...i-1}-\sum A_{1..i})$
没有交点，
先做q+p的前缀和，设为$S_i$
判断区间相交可以用判断端点是否被包含，写出不等式后发现，我们只要保证
$\sum q_{0...i-1}+\sum p_{0...i-1}$不在区间$(-2\sum A_{1..i-1},-2\sum A_{1..i})$内即可，

也就是，在数轴上走，要保证第i个时刻不在某个区间内，
我们的目的是使$S_n-S_0$最小，（这个不取模）
发现每次如果要走，肯定是走到左端点上，

这个直接用线段树做即可，每次查询一个区间最小值，再区间更改权值，

复杂度：$O(n\log(n))$

Code

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
#define fod(i,a,b) for(int i=a;i>=b;--i)
#define min(q,w) ((q)>(w)?(w):(q))
#define max(q,w) ((q)<(w)?(w):(q))
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=100500;
const LL INF=1e17;
int read(int &n)
{
    char ch=' ';int q=0,w=1;
    for(;(ch!='-')&&((ch<'0')||(ch>'9'));ch=getchar());
    if(ch=='-')w=-1,ch=getchar();
    for(;ch>='0' && ch<='9';ch=getchar())q=q*10+ch-48;n=q*w;return n;
}
int m,n,n1;
LL a[N],ans;
bool az[N];
int L[N],R[N];
struct Data
{
    int l,r;
    LL v,la;
}b[N*100];
int root,b0;
void doit(int l,int r,int e,int K=1)
{
    if(!e||b[e].la<0)return;
    b[e].v=b[e].la;
    if(l!=r)
    {
        if(b[e].l||K)b[b[e].l?b[e].l:(b[e].l=++b0)].la=b[e].la;
        if(b[e].r||K)b[b[e].r?b[e].r:(b[e].r=++b0)].la=b[e].la;
    }
    b[e].la=-1;
}
void change(int l,int r,int &e,int l1,int r1,LL l2)
{
    if(l>r||l1>r1)return;
    if(!e)e=++b0;
    if(l1<=l&&r<=r1)
    {
        b[e].la=l2;
        doit(l,r,e);
        return;
    }
    int t=(l+r)>>1;
    doit(l,t,b[e].l),doit(t+1,r,b[e].r);
    if(l1<=t)change(l,t,b[e].l,l1,r1,l2);
    if(t<r1)change(t+1,r,b[e].r,l1,r1,l2);
    b[e].v=min(b[b[e].l].v-(LL)t+r,b[b[e].r].v);
}
LL find(int l,int r,int e,int l1,int r1)
{
    if(!e||r<l||l1>r1)return INF;
    doit(l,r,e);
    if(l1<=l&&r<=r1)return b[e].v-(LL)r+r1;
    int t=(l+r)>>1;
    LL ans=INF,ans1=INF;
    if(l1<=t)ans=find(l,t,b[e].l,l1,r1);
    if(t<r1)ans1=find(t+1,r,b[e].r,l1,r1);
    return min(ans,ans1);
}
LL findS(int l,int r,int e)
{
    if(!e)return INF;
    doit(l,r,e,0);
    if(l==r)return b[e].v;
    int t=(l+r)>>1;
    LL ans=INF,ans1=INF;
    ans=findS(l,t,b[e].l);
    ans1=findS(t+1,r,b[e].r);
    return min(ans,ans1);
}
int main()
{
    int q,w;
    read(n),read(n1);
    fo(i,1,n)
    {
        a[i]=a[i-1]+(LL)read(q);az[i]=read(w)-1;
        if(q*2>n1&&w==1)return printf("-1\n"),0;
        if(w==1)L[i]=(n1-2LL*a[i]%n1+1)%n1,R[i]=(n1-2LL*a[i-1]%n1-1)%n1;
    }
    b0=1;b[0].v=INF,b[1].v=0;
    b[0].la=-1,b[1].la=0;
    root=1;
    fo(i,1,n)if(!az[i])
    {
        if(L[i]<=(R[i]+1)%n1) 
        {
            LL t=find(0,n1-1,root,L[i],(R[i]+1)%n1);
            change(0,n1-1,root,L[i],R[i],INF);
            change(0,n1-1,root,(R[i]+1)%n1,(R[i]+1)%n1,t);
        }
        else
        {
            LL t=find(0,n1-1,root,L[i],n1-1)+(R[i]+1LL)%n1+1LL;
            change(0,n1-1,root,L[i],n1-1,INF);
            LL t1=find(0,n1-1,root,0,(R[i]+1)%n1);
            change(0,n1-1,root,0,(R[i]+1)%n1,INF);
            change(0,n1-1,root,(R[i]+1)%n1,(R[i]+1)%n1,min(t,t1));
        }
    }
    ans=findS(0,n1-1,root)+a[n]*2LL;
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}