Warshall（沃舍尔）算法求传递闭包

1.离散数学定义：

t(R) = R u R^2 u R^3 u..... 其中R^(n+1) = R^n 复合 R

矩阵表示：

M（R） = M + M^2 + M^3 +....+M^n(其中加为逻辑加）

所以我们只要按照这个公式每次更新M，最后的Mn就是传递闭包

2.Warshall算法：

(1)置新矩阵A＝M； 

(2)i＝1； 

(3)对所有j如果A[j，i]＝1，则对k＝1，2，…，n，A[j，k]＝A[j，k]∨A[i，k]； 
(4)i加1；（i是行，j是列） 

(5)如果i≤n，则转到步骤3)，否则停止。 

思想：不难理解,对于每个相通的j - > i,我们可以从这个相通关系出发，看看能不能通过这条相通的j - > i,更新一下j - >k。对所有的可通关系都更新一遍M，最后的结果就是传递闭包了！

代码：

#include <iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxn = 100;
int G[maxn][maxn];//离散数学定义法
int main()
{
    int T;
    cin>>T;
    while(T--){
        memset(G,0,sizeof(G));
        int n,m;
        cin>>n>>m;//n个点m条边
        for(int i = 1;i<=m;i++){
            int a,b;
            cin>>a>>b;
            G[a][b] = 1;//建边
        }
        for(int i =1;i<=n;i++){//外层枚举到达点
            for(int j = 1;j<=n;j++){//内层枚举出发点
                if(G[j][i]){//如果j - >i相通
                    for(int k = 1;k<=n;k++){//从这条通路出发，更新所有的传递关系
                        G[j][k] = G[j][k]|G[i][k];（若G[j][k] = 0,但G[j][k] = G[j][i] 复合 G[i][k])
                    }

                }
            }
        }
        for(int i = 1;i<=n;i++){
            for(int j = 1;j<=n;j++){
                cout<<G[i][j]<<" ";
            }
            cout<<endl;
        }
    }
    return 0;
}

3.在动态规划思想上实现沃舍尔算法

(1)这个算法类似于最短路的floyd算法，可以说floyd是在更新传递闭包的基础上记录生成传递闭包的最小代价，这个最小代价就是最短路，所以说，最短路和沃舍尔求传递闭包的思想是一样的或者是相通的！神奇！

代码：

#include <iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxn = 100;
int G[maxn][maxn];
int main()
{
    int T;
    cin>>T;
    while(T--){
        memset(G,0,sizeof(G));
        int n,m;
        cin>>n>>m;
        for(int i = 1;i<=m;i++){
            int a,b;
            cin>>a>>b;
            G[a][b] = 1;
        }
        for(int k = 1;k<=n;k++){//经过节点k中转，能更新多少传递关系
            for(int i = 1;i<=n;i++){
                for(int j = 1;j<=n;j++){
                    if(G[i][j])continue;
                    G[i][j] = (G[i][k]&&G[k][j]);
                }
            }
        }
        for(int i = 1;i<=n;i++){
            for(int j = 1;j<=n;j++){
                cout<<G[i][j]<<" ";
            }
            cout<<endl;
        }
    }
    return 0;
}