python---cvxopt.solvers.qp(P,q,G,h,A,b)

标准形式：
$min\,\,\frac{1}{2}x^TPx+q^Tx\\ s.t.\,\,Gx≤h\\ Ax=b$

注意： $P$为对称矩阵， $x$是列向量。
示例：
$\frac{1}{2}\begin{bmatrix}x_1&x_2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}a&b\\b&d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}= \frac{1}{2}\left(ax_1^2+dx_2^2+2bx_1x_2\right)$
$min\,\,x_1^2+x_2^2+x_1x_2+2x_1+x_2\\ s.t.\,\, x_i≥0,i=1,2\\ \sum_{i=1}^2x_i=1$

因此，由 $x_1^2+x_2^2+x_1x_2$可以推出：
$P=\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}$

由 $2x_1+x_2$可以推出：
$q=\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}$

注意：约束条件需要化成标准形式：
$s.t.\,\, -x_i≤0,i=1,2\\ \sum_{i=1}^2x_i=1$

因此，可以推出：
$\begin{array}{lcl} G=\begin{bmatrix}-1&0\\0&-1\end{bmatrix}\\\\ h=\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}\\\\ A=\begin{bmatrix}1&1\end{bmatrix}\\\\ b=1 \end{array}$

因此，要求解：

$min\,\,x_1^2+x_2^2+x_1x_2+2x_1+x_2\\ s.t.\,\, x_i≥0,i=1,2\\ \sum_{i=1}^2x_i=1$

可通过：cvxopt.solvers.qp(P,q,G,h,A,b)来进行求解。
其中参数为：
$P=\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix},q=\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}, G=\begin{bmatrix}-1&0\\0&-1\end{bmatrix},h=\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}, A=\begin{bmatrix}1&1\end{bmatrix},b=1$
Code:

from cvxopt import solvers, matrix

P=matrix([[2.,1.],[1.,2.]])
q=matrix([2.,1.])
G=matrix([[-1.,0.],[0.,-1.]])
h=matrix([1.,1.])
A=matrix([1.,1.],(1,2))
b=matrix(1.)

solvers.options['show_progress'] = False
sol = solvers.qp(P,q,G,h,A,b)

print(sv['x'])
print(sv['primal objective'])

Result: