感知机是根据输入实例的特征向量 对其进行二类分类的线性分类模型:
感知机模型对应于输入空间(特征空间)中的分离超平面 。
感知机学习的策略:
极小化损失函数:
损失函数对应于误分类点到分离超平面的总距离。
算法简述:
感知机学习算法是基于随机梯度下降法的对损失函数的最优化算法,有原始形式和对偶形式。算法简单且易于实现。原始形式中,首先任意选取一个超平面,然后用梯度下降法不断极小化目标函数。在这个过程中一次随机选取一个误分类点使其梯度下降。
收敛性:
当训练数据集线性可分时,感知机学习算法是收敛的。感知机算法在训练数据集上的误分类次数 满足不等式:
当训练数据集线性可分时,感知机学习算法存在无穷多个解,其解由于不同的初值或不同的迭代顺序而可能有所不同。
二分类模型
给定训练集:
定义感知机的损失函数
算法说明:
随即梯度下降法 Stochastic Gradient Descent
随机抽取一个误分类点使其梯度下降。
当实例点被误分类,即位于分离超平面的错误侧,则调整 , 的值,使分离超平面向该无分类点的一侧移动,直至误分类点被正确分类
在这里;使用iris数据集中两个分类的数据和[sepal length,sepal width]作为特征
# 提取数据及可视化
import pandas as pd
import numpy as np
from sklearn.datasets import load_iris
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline
# load data
iris = load_iris()
df = pd.DataFrame(iris.data, columns=iris.feature_names)
df['label'] = iris.target
df.columns = ['sepal length', 'sepal width', 'petal length', 'petal width', 'label']
df.label.value_counts()
data = np.array(df.iloc[:100, [0, 1, -1]])
X, y = data[:,:-1], data[:,-1]
y = np.array([1 if i == 1 else -1 for i in y])
plt.scatter(df[:50]['sepal length'], df[:50]['sepal width'], label='0')
plt.scatter(df[50:100]['sepal length'], df[50:100]['sepal width'], label='1')
plt.xlabel('sepal length')
plt.ylabel('sepal width')
plt.legend()
感知机原始形式:
class Model:
def __init__(self):
self.w = np.zeros(len(data[0]) - 1, dtype = np.float32)
self.b = 0
self.learning_rate = 0.1
def sign(self, x, w, b):
y = np.dot(w, x)+b
return y
# 使用随机梯度下降法
def fit(self, X_train, y_train):
is_wrong = False
while not is_wrong:
wrong_count = 0
for i in range(len(X_train)):
X = X_train[i]
y = y_train[i]
if y * self.sign(X, self.w, self.b) <= 0:
self.w = self.w + self.learning_rate * np.dot(y, X)
self.b = self.b + self.learning_rate * y
wrong_count += 1
if wrong_count == 0:
is_wrong = True
return '训练结束'
# 训练模型
perceptron = Model()
perceptron.fit(X, y)
# 结果可视化
x_points = np.linspace(4, 7, 10)
y_ = -(perceptron.w[0] * x_points + perceptron.b) / perceptron.w[1]
plt.plot(x_points, y_)
plt.plot(data[:50, 0], data[:50, 1], 'bo', color='blue', label='0')
plt.plot(data[50:100, 0], data[50:100, 1], 'bo', color='orange', label='1')
plt.xlabel('sepal length')
plt.ylabel('sepal width')
plt.legend()
感知机的对偶形式
对偶形式的基本想法是,将w和b表示为实例xi 和标记 yi 的线性组合的形式,通过求解其系数而求得w和b.
假设w0=0,b=0,那么当所有的点均不发生误判时,最后的w,b一定有如下的形式:
代表对第i个样本的学习次数,感知机对偶形式的完整形式即为下式:
初始化α=0,b=0;任意选取(xi,yi);如果
,即发生误判,则对αi,bi进行更新,重复直到所有点都被正确分类
感知机的对偶形式就是把对w,b的学习变成了对α,b的学习,原始形式中,w在每一轮迭代错分时都需要更新,而采用对偶形式时,对于某一点(xi,yi)发生错分时,只需要更新其对应的αi即可,最后即可一次计算出w
同时上述步骤中的 可以看出 仅以内积的形式出现,因此我们可以是先计算出x的gram矩阵存储起来,这样正式训练时只需要查表就可以得到 的值,这样做可以方便程序的优化,提高运算的速度。 原始形式和对偶形式对参数b的处理是相同的。
代码如下
import random
def sign(v):
if v>=0:
return 1
else:
return -1
def train(train_num,train_datas,lr):
w=0.0
b=0
datas_len = len(train_datas)
alpha = [0 for i in range(datas_len)]
train_array = np.array(train_datas)
gram = np.matmul(train_array[:,0:-1] , train_array[:,0:-1].T)
for idx in range(train_num):
tmp=0
i = random.randint(0,datas_len-1)
yi=train_array[i,-1]
for j in range(datas_len):
tmp+=alpha[j]*train_array[j,-1]*gram[i,j]
tmp+=b
if(yi*tmp<=0):
alpha[i]=alpha[i]+lr
b=b+lr*yi
for i in range(datas_len):
w+=alpha[i]*train_array[i,0:-1]*train_array[i,-1]
return w,b,alpha,gram
def plot_points(train_datas,w,b):
plt.figure()
x1 = np.linspace(0, 8, 100)
x2 = (-b-w[0]*x1)/(w[1]+1e-10)
plt.plot(x1, x2, color='r', label='y1 data')
datas_len=len(train_datas)
for i in range(datas_len):
if(train_datas[i][-1]==1):
plt.scatter(train_datas[i][0],train_datas[i][1],s=50)
else:
plt.scatter(train_datas[i][0],train_datas[i][1],marker='x',s=50)
plt.show()
if __name__=='__main__':
train_data1 = [[1, 3, 1], [2, 2, 1], [3, 8, 1], [2, 6, 1]] # 正样本
train_data2 = [[2, 1, -1], [4, 1, -1], [6, 2, -1], [7, 3, -1]] # 负样本
train_datas = train_data1 + train_data2 # 样本集
w,b,alpha,gram=train(train_num=500,train_datas=train_datas,lr=0.01)
plot_points(train_datas,w,b)