【算法】--分治法

一、分治法简介

分治策略 （divide-and-conquer）：将原问题划分成 n 个规模较小而结构与原问题相似的子问题；递归地解决这些子问题，然后再合并其结果，就得到原问题的解。

分治模式在每层都有三个步骤:

分解原问题为若干子问题,这些子问题是原问题的规模较小的实例。
解决这些子问题,递归地求解各子问题。然而,若子问题的规模足够小,则直接求解。
合并这些子问题的解成原问题的解。

二、分治法应用——归并排序

归并排序完全依照了分治法的思想：
分解：将个预排列的数分成两个各含n/2个数的子列；
解决：用归并排序法对两个子序列递归地排序；
合并：合并两个已排序的子序列以得到排序结果。
对子序列排序时，其长度为1时递归结束。单个元素被视为是已排好序的。

归并排序的重要步骤就是归并，即将已经排序好的两个子序列合并；
下面引入MERGE过程完成合并：
子数组A₁[p…q],A₂[q+1…r]合并为A[p…r];

//伪代码
MERGE(A, p, q, r)
  n1 = q - p + 1
  n2 = r - q
  let L[1 .. n1 + 1] and R[1 .. n2 + 1] be new arrays
  for i = 1 to n1
      L[i] = A[p + i - 1]
  for j = 1 to n2
      R[j] = A[q + j]
  L[n1 + 1] = MAX
  R[n2 + 1] = MAX
  i = 1
  j = 1
  for k = p to r
     if L[i] <= R[j]
         A[k] = L[i]
         i = i + 1
     else 
         A[k] = R[j]
         j = j + 1

再就是分解子问题的过程，对于数组A[p…r]，只有当p>=r（即只有一个元素）时才视为一个已排序的序列；否则就将该数组分解为子数组A₁[p…q],A₂[q+1…r]；

MERGE-SORT(A, p, r)
 if p < r
     q = (p + r) / 2
     MERGE-SORT(A, p, q)
     MERGE-SORT(A, q + 1, r)
     MERGE(A, p, q, r)

归并排序Java实现：

/*归并排序
*@author WaverlyW
*/
class MergeSort{
    private int p,r;
    private int[] arry;
    MergeSort(int[] arry){
        this.arry=arry;
        p=0;
        r=arry.length-1;
    }
    public static int[] sort(){
        mergeSort(arry,p,r);
        return arry;
    }
    private static void merge(int[] arry,int p,int q,int  r){
        int n1=q-p+1;
        int n2=r-q;
        int[] L=new int[n1];
        int[] R=new int[n2];
        for(int i=0;i<n1;i++){
            L[i]=A[p+i];
        }
        for(int j=1;j<n2;j++){
            R[j]=A[q+j];
        }
        int i=0,j=0;
        for(k=p;k<r;K++){
            if(L[i]<=R[j]){
                A[k]=L[i];
                i++;
            }
            if(L[i]>R[j]){
                A[k]=R[j];
                j++;
            }
        }
    }
    private static int[] mergeSort(int[] arry,int p,int r){
        if(p<r){
            int q=(p+r)/2;
            mergeSort(arry,p,q);
            mergeSort(arry,q+1,r);
            merge(arry,p,q,r);
        }
    }
}