贪婪算法基础参阅前一篇文章：https://blog.csdn.net/qq_41453285/article/details/104439879

一、货箱装载

问题描述：有一艘船要状态货物，所有的货箱的大小都一样，但是货箱的重量各不相同
现在我们的要求是：在不超载的情况下，在货船上状态数量最多的货物

贪婪算法解决

思想：选择货箱时，从生下的货箱中，选择重量最小的货箱，那么就可以保证装入的货箱的数目最多

例如：假设n=8个货箱，x为货箱的编号，重量w分别为[100,200,50,91,150,50,20,80]，船的最大超载c=400。那么根据贪婪算法，可以在船上装载的货箱编号为7、3、6、8、4、1、5、2，总重量为390，此时得到的是最优解[x1,...x8]=[1,0,1,1,0,1,1,1]

定理：利用上述贪婪算法能产生最佳装载。该定理的证明如下

C++代码实现

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

//用于表示货箱
struct container {
    container(int _id, int _weight, int _flag = 0) 
        :id(_id), weight(_weight), flag(_flag) {}
    int id;    //货箱编号
    int weight;//货箱重量
    int flag;  //用于表示是否装载进货船。0表示没有，1表示有
};

/*
参数:
    c：货箱集合
    capacity：船的最大超载容量
*/
void containterLoading(const std::vector<container*>& c, int capacity)
{
    //如果船未超载，那么进行装箱操作
    for (auto iter = c.begin(); ((iter != c.end()) && ((*iter)->weight <= capacity)); ++iter) {
        (*iter)->flag = 1;
        capacity -= (*iter)->weight;
    }
}

bool isMax(const container* p1, const container* p2)
{
    return p1->weight < p2->weight;
}

int main()
{
    //初始哈8个货箱
    std::vector<container*> vec;
    vec.push_back(new container(1, 100));
    vec.push_back(new container(2, 200));
    vec.push_back(new container(3, 50));
    vec.push_back(new container(4, 90));
    vec.push_back(new container(5, 150));
    vec.push_back(new container(6, 50));
    vec.push_back(new container(7, 20));
    vec.push_back(new container(8, 80));

    //根据container的重量对所有的货箱进行排序
    std::sort(vec.begin(), vec.end(), isMax);

    //装箱操作
    containterLoading(vec, 400);

    //打印信息
    std::cout << "The number of the case being loaded is :";
    for (auto iter = vec.cbegin(); iter != vec.cend(); ++iter) {
        if ((*iter)->flag)
            std::cout << (*iter)->id << " ";
    }
    std::cout << std::endl;
    return 0;
}

运行结果如下：

二、背包问题

问题描述

有n个物品和一个容量为c的背包。物品i的重量为Wi，价值为p。现在要从n个物品中选出一些物品装入书包中

现在的最佳要求是：在装包的物品总重量不超过背包的容量下，使装入的物品总价值最高

问题描述是：

约束条件是：

Xi=1表示物品装入背包，Xi=0表示物品没有装入背包

0/1背包问题实际上是一个一般化的装载货箱问题，只是从每个货箱所获的价值不同

贪婪策略①

规则：从剩余的物品中选出可以装入背包的价值最大的物品

这种策略不能保证最优解

贪婪策略②

规则：从剩余的物品中选出可以装入背包的重量最小的物品

这种策略也不能保证最优解

贪婪策略③

规则：从剩余的物品中选出可以装入背包的Pi/Wi值最大的物品

这种策略也不能保证最优解

启发式贪婪方法

上面讨论的三种算法都不能保证最优解，但是我们不必沮丧。0/1背包问题是一个NP-复杂问题

其中策略③虽然不能保证最优解，但是我们认为它是一个好的启发式算法，而且很多时候，它的解非常接近最优解。在一项实验中，对随机产生的600个背包问题，利用这种启发式贪婪算法得到的解有239个为最优解，有583个解与最优解相差10%，因此，所有600个解与最优解只差全在25%之内。而且算法能在O(nlogn)时间内完成，性能非常好

K阶优化

K阶优化的原理是：

首先将最多k件物品放入背包，不论它们的价值为多少

如果这k件物品超过了背包最大容量c，则放弃这种操作

如果这k件物品没有超过了背包最大容量c，继续从剩余的物品中按Pi/Wi值的递减顺序将物品逐个放入背包

现在假设n=4，w=[6,10,12,13]，p=[6,10,12,13]，c=11，Pi/Wi=[3,2.5,2,1.8]

当k=0时：将物品按其价值密度的非递增顺序放入背包。首先将物品1放入背包，然后是物品2。这是背包剩下的容量为5，不能再放入任何物品，因此解为x=[1,1,0,0]，此解的价值为16

当K=1，K=2时，结果如下：

修改后的贪婪启发式方法得到的解为K阶优化。也就是说，如果从解中取出k件物品，并放入另外k件物品，那么获得的结果不会原来的好。而且用这种方式获得值在最优值的(100/(k+1))%以内。因此，我们把这种启发式方法称为有界性能启发式

当K=1时：保证最终结果在最佳值的50%以内

当K=2时：则在33.33%以内

有界性能启发式方法的执行时间随k的增加而增加，需要尝试的自己数目为O( $n^{k}$ )，每一个子集所需时间为O(n)。还有，物品按价值比率排序所需时间为O(nlogn)。因此当k>0时，总时间为O( $n^{k+1}$ )

实际考察的性能要好的多，下图给出了600种随机测试的统计结果：