先打广告，所有的算法作业我都会把代码更新在我的GitHub上
滑技工厂——Homework-AlgorithmAnalysis
希望大家能打个小⭐⭐，谢谢
依旧是算法作业，这次是整数划分问题。
在网上找了半天，大多都是求整数划分有多少种，很少求详细的划分情况。
有也都是C语言版的，并找不到Java的。
于是我便想出一个Java的（其实差不多，只是如果有人需要Java版的方便搜到）
问题
说明一下问题，什么是整数划分？
n=m1+m2+…+mi; （其中mi为正整数，并且1 <= mi <= n），则{m1,m2,…,mi}为n的一个划分。
如果{m1,m2,…,mi}中的最大值不超过m，即max(m1,m2,…,mi)<=m，则称它属于n的一个m划分。这里我们记n的m划分的个数为f(n,m);
举个例子，当n=6时我们可以获得以下这几种划分：
6=6
6=5+1
6=4+2
6=4+1+1
6=3+3
6=3+2+1
6=3+1+1+1
6=2+2+2
6=2+2+1+1
6=2+1+1+1+1
6=1+1+1+1+1+1
分析
这样子也非常容易看出来，n的整数划分是建立在n-1的基础上的，所以是可以有递推公式的。
单个参数我们很难找到递推式，于是我们增加一个参数m，表示一个划分结果中的最大加数。
根据n和m的关系，考虑以下几种情况：
-
当n=1时，不论m的值为多少（m>0)，只有一种划分即{1};
-
当m=1时，不论n的值为多少，只有一种划分即n个1，{1,1,1,…,1};
-
当n=m时，根据划分中是否包含n，可以分为两种情况：
(a)划分中包含n的情况，只有一个即{n}；
(b)划分中不包含n的情况，这时划分中最大的数字也一定比n小，即n的所有(n-1)划分。 因此 q(n,n) =1 + q(n,n-1);
-
当n<m时，由于划分中不可能出现负数，因此就相当于q(n,n);
-
但n>m时，根据划分中是否包含最大值m，可以分为两种情况：
(a)划分中包含m的情况，即{m, {x1,x2,…xi}}, 其中{x1,x2,… xi} 的和为n-m，因此这情况下为q(n-m,m)
(b)划分中不包含m的情况，则划分中所有值都比m小，即n的(m-1)划分，个数为q(n,m-1);
因此 q(n, m) = q(n-m, m)+q(n,m-1);
代码
求整数划分种数
/*
* @Title division
* @Description 整数划分方法
* @author 滑技工厂
* @Date 2020/3/8
* @param [n, m] n->要划分的整数 m->最大加数
* @return int 输出有多少种划分
* @throws
*/
public static int division(int n, int m) {
if (n < 1 || m < 1)
return 0;
if (n == 1 || m == 1)
return 1;
//最大加数如果大于n 则另最大加数为n
if (n < m)
return division(n, n);
//m=n，则从
if (n == m)
return division(n, m - 1) + 1;
return division(n, m - 1) + division(n - m, m);
}
求具体划分情况
static int mark[] = new int[100];//记录分解情况
static int n;
/*
* @Title divide
* @Description 输出划分
* @author 滑技工厂
* @Date 2020/3/8
* @param [now, k, pre]
* @return void
* @throws
*/
public static void divide(int now, int k, int pre) {
int i;
//数组长度大于n就返回
if (now > n) return;
if (now == n) {
System.out.printf("%d=", n);
for (i = 0; i < k - 1; i++) {
System.out.printf("%d+", mark[i]);
}
System.out.printf("%d\n", mark[i]);
} else {
for (i = pre; i > 0; i--) {
if (i <= pre) {
mark[k] = i;
now += i;
divide(now, k + 1, i);
now -= i;
}
}
}
}
以6为例，得到的结果为
完结撒花✿，赠人玫瑰。
