一、简介
决策树分类算法（decision tree）通过树状结构对具有某特征属性的样本进行分类。其典型算法包括ID3算法、C4.5算法、C5.0算法、CART算法等。每一个决策树包括根节点（root node），内部节点（internal node）以及叶子节点（leaf node）。
根节点：表示第一个特征属性，只有出边没有入边，通常用矩形框表示。
内部节点：表示特征属性，有一条入边至少两条出边，通常用圆圈表示。
叶子节点：表示类别，只有一条入边没有出边，通常用三角表示。
决策树算法主要用于分类，也可用于回归，当决策树的输出变量是分类变量时，是分类树；当决策树输出变量是连续变量时，是回归树。虽然回归树的因变量是连续的，但叶节点数是有穷的，因此输出值也是这个叶节点上观测值的平均。
二、基本思想
决策树算法基本思想可以归纳如下：
第一步，对特征空间按照特征属性进行划分；
第二步，对分类后的子集递归第一步。
分类过程看起来很简单，但是要想得到【完全纯净】的子集，也就是每一个子集中的样本都属于同一个分类，还需要一个评价指标对分类效果好坏进行评估——熵。
熵，是系统一种无组织、无序的状态，广泛应用于信息论中。熵值越大，表明数据的纯度越低。当熵等于0，表明样本数据都是同一个类别。其计算公式如下：
其中，P(Xi)表示概率，b此处取值为2。熵的单位为比特bite。
信息增益（information gain）：代表的是一次划分对数据纯度的提升效果，也就是划分以后，熵减少越多，说明增益越大，那么这次划分也就越有价值，增益的计算公式如下：
其中D表示样本集，假定属性a有v个可能的取值（离散或连续）。进行最有划分属性时，比如先找到了属性a，对a进行评价，接下来对其他属性重复a的过程，分别得到一个评分，选择评分最高的那个，即信息增益最大的作为最有划分属性。简言之，信息增益就是分割属性前的熵值与分割后的熵值进行差异比较。
需要注意的是，计算子集的熵之和需要乘上各个子集的权重，权重的计算方法是子集的规模占分割前父集的比重。如，分割前的熵为e，分割子集为a和b，大小分别为m和n，熵分别为e1和e2，则信息增益为e-e1*m/(m+n)-e2*n/(m+n)。
三、ID3算法实现
分类的本质是对特征空间的划分。根据决策树的基本思想，其算法实现主要有以下三步：
1.选择特征属性，样本分割。
2.计算信息增益，选取最大增益作为决策树的子节点。
3.递归执行上两步，直至分类完成。
下面将介绍ID3算法在R语言中实现过程。
一组14天天气数据(指标包括outlook，temperature，humidity，windy)，并已知这些天气是否打球(play)。如果给出新一天的气象指标数据:sunny,cool,high,TRUE，判断一下会不会去打球。
| Outlook |
temperature |
humidity |
windy |
play |
| Sunny |
hot |
high |
FALSE |
no |
| Sunny |
hot |
high |
TRUE |
no |
| Overcast |
hot |
high |
FALSE |
yes |
| Rainy |
mild |
high |
FALSE |
yes |
| Rainy |
cool |
normal |
FALSE |
yes |
| Rainy |
cool |
normal |
TRUE |
no |
| Overcast |
cool |
normal |
TRUE |
yes |
| Sunny |
mild |
high |
FALSE |
no |
| Sunny |
cool |
normal |
FALSE |
yes |
| Rainy |
mild |
normal |
FALSE |
yes |
| Sunny |
mild |
normal |
TRUE |
yes |
| Overcast |
mild |
high |
TRUE |
yes |
| Overcast |
hot |
normal |
FALSE |
yes |
| Rainy |
mild |
high |
TRUE |
no |
在没有给定任何天气信息时，根据历史数据，我们只知道新的一天打球的概率是9/14，不打的概率是5/14。此时的熵为：
属性有4个：outlook，temperature，humidity，windy。我们首先要决定哪个属性作为树的根节点。
统计在不同天气状况下打球和不打球的次数：
| outlook |
temperature |
humidity |
windy |
play |
|||||||||
| yes |
no |
yes |
no |
yes |
no |
yes |
no |
yes |
no |
||||
| sunny |
2 |
3 |
hot |
2 |
2 |
high |
3 |
4 |
FALSE |
6 |
2 |
9 |
5 |
| overcast |
4 |
0 |
mild |
4 |
2 |
normal |
6 |
1 |
TRUR |
3 |
3 |
||
| rainy |
3 |
2 |
cool |
3 |
1 |
||||||||
代码：
##决策树模型之ID3算法
#从粘贴板读取表格数据
weather <- read.table("clipboard",T)
#查看数据结构
str(weather)
#将windy指标转换成因子型
weather$windy <- as.factor(weather$windy)
#未分割前信息熵
q <- matrix(table(weather$play),nrow = 1,dimnames = list('play',unique(weather$play)))/
sum(matrix(table(weather$play),nrow = 1))
e <- -sum(q*log2(q))
#计算各特征属性的信息熵
myfun <- function(x,y){
t <- table(x,y)
m <- matrix(t,nrow = length(levels(x)),2,dimnames = list(levels(x),levels(y)))
#权重计算
n <- apply(m,1,sum)/sum(m)
#分割后各子集的熵
freq <- -rowSums((m/rowSums(m))*log2(m/rowSums(m)))
#分割后的最终熵
entropy <- sum(n*freq,na.rm = T)
return(entropy)
}
#计算信息增益information gain
y <- weather[,5]
gain <- vector()
for (i in 1:(length(weather)-1)) {
x <- weather[,i]
gain[i] <- e-myfun(x,y)
}
names(gain) <- colnames(weather[,1:4])
gain
运行结果：
根据各特征属性的信息增益比较得到，outlook信息增益最大，即熵变化越大，所以决策树的根节点应选择outlook。
接下来选择各子节点N1，N2，N3的特征属性。
用属性outlook划分样本后，三个属性值sunny，overcast，rainy把样本划分为三部分，在每一部分下分别计算gain（temperature）、gain（humidity）、gain（windy）
代码：
#选择子节点特征属性
level <- levels(weather$outlook)
son_gain <- data.frame()
for(j in 1:length(level)){
son_q <- matrix(table(weather[weather$outlook==level[j],]$play),nrow = 1,
dimnames = list('play',unique(weather$play)))/
sum(matrix(table(weather[weather$outlook==level[j],]$play),nrow = 1))
son_e[j]<- -sum(son_q*log2(son_q))
}
for (j in 1:length(level)) {
for (i in 1:length(level)) {
sl <- weather[weather$outlook==level[j],]
son_x <- sl[,i+1]
son_y <- sl[,5]
son_gain[j,i] <- son_e[j]-myfun(x=son_x,y=son_y)
}
}
colnames(son_gain) <- colnames(weather[,-c(1,5)])
rownames(son_gain) <- level
son_gain
信息增益结果：
根据上述结果，在Sunny分支上，humidity的信息增益最大，即熵减少得越快，因此应当将humidity作为子节点N1处的特征属性。
此时，humidity=normal以及humidity=high最终得到的分类结果均为同一中类别，无需在humidity节点下进行再分类，该节点为叶子节点。
同样在rainy分支下的子节点N3应选择windy。且在该节点下无需再进行分类。
在overcast分支下，所有的样本都属于同一个分类，因此该节点为叶子节点。
最终的分类树为：
