【算法设计与分析】第二章 递推算法

递推

一个问题的求解需一系列的计算，在已知条件和所求问题之间总存在着某种相互联系的关系，在计算时，如果可以找到前后过程之间的数量关系（即递推式），那么，从问题出发逐步推到已知条件，此种方法叫逆推。

eg：【例1】数字三角形。如下所示为一个数字三角形。请编一个程序计算从顶到底的某处的一条路径，使该路径所经过的数字总和最大。只要求输出总和。

　 1、 一步可沿左斜线向下或右斜线向下走；
　 2、 三角形行数小于等于100；
3、 三角形中的数字为0，1，…，99；
测试数据通过键盘逐行输入，如上例数据应以如下所示格式输入：

5
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5

【算法分析】
　　此题解法有多种，从递推的思想出发，设想，当从顶层沿某条路径走到第i层向第i+1层前进时，我们的选择一定是沿其下两条可行路径中最大数字的方向前进，为此，我们可以采用倒推的手法，设a[i][j]存放从i,j 出发到达n层的最大值，则a[i][j]=max{a[i][j]+a[i+1][j]，a[i][j]+a[i+1][j+1]}，a[1][1] 即为所求的数字总和的最大值。

【代码】

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n;
int a[1000][1000];

int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=i;j++)
        {
            cin>>a[i][j];
        }
    }
    for(int i=n-1;i>=1;i--)
    {
        for(int j=1;j<=i;j++)
        {
            a[i][j]=max(a[i+1][j],a[i+1][j+1]);
        }
    }
    cout<<a[1][1]<<endl;
    return 0;
}

序列求和的方法

等差数列：
$S_n=n*(a_1+a_n)/2$
等比数列：
$S_n=a_1*(1-q_n)/(1-q);(q!=1)$
$S_n=n*a_1;(q==1)$

调和级数:
$\sum_{k=1}^{n} (1/k)=lnn+O(1)$

递推方程

设序列 $a_0$, $a_1$,…, $a_n$,…简记为 ${a_n}$，一个把 $a_n$与某些个 $a_i$联系起来的等式叫做冠以 ${a_n}$的递推方程。
求解：
给定关于序列 ${a_n}$的递推方程和若干初值，计算 $a_n$

eg:Fibonacci数列： 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …
初值： $f_0=1$ , $f_1=1$
递推方程： $f_n=f_{n-1}+f_{n-2}$

迭代法求解递推方程

迭代法

• 不断用递推方程的右部替换左部
• 每次替换，随着 n 的降低在和式中多出一项
• 直到出现初值停止迭代
• 将初值代入并对和式求和
• 可用数学归纳法验证解的正确性

换元迭代

• 将对 n 的递推式换成对其他变元k的递推式
• 对 k 直接迭代
• 将解 (关于 k 的函数) 转换成关于n 的函数

差消法化简高阶递推方程

根据已知，写出递推方程，并且写出递推方程的下一项，，讲两个递推方程做差，然后化简即可。