归并排序概述：
归并排序（MERGE-SORT）是建立在归并操作上的一种有效的排序算法,该算法是采用分治法（Divide and Conquer）的一个非常典型的应用。
归并操作实现思路
所谓归并操作就是将所有分割后的序列按照顺序合并一起。使用分治的思想解决问题。
归并操作的实现思路就是先将所有元素进行分割成子序列，直到不能在分割，再使每个子序列有序，再使子序列段间有序。
将已有序的子序列合并，得到完全有序的序列；
所有合并操作完成后便实现了归并排序。
例如:
该图片可以很清楚的看出，先将无规则元素全部进行分割，直到形成单个元素。
此时开始合并，先是合并两个元素，确保两个元素有序。
再合并4个元素，确保4个元素有序。
重复合并操作直到完成所有所有元素的合并，解决问题。
因此其实现步骤总结有三步：
- 分割所有元素，直到元素成单个分布。
- 从单个开始合并元素，合并的过程确保合并元素有序。
- 重复第二步操作，直到所有元素合并完成。
总的来说，归并排序的思路是先分后合。
代码实现：
在分析图中可以很清晰看出来，用递归的做法就能解决本分割后再回来合并的元素标号问题。
因此采用递归的思路来解决问题。
首先明确实现需要走的三个步骤：
- 分割所有元素，直到元素成单个分布。
- 从单个开始合并元素，合并的过程确保合并元素有序。
- 重复第二步操作，直到所有元素合并完成。
我们根据以上步骤一步一步来实现代码：
1 . 分割所有元素，直到元素成单个分布。
//通过递归的方式来分割数组，分割到元素成单个后不再分割
//这里我们用两个下标变量来定义元素区间的左右边界，当元素区间左右边界重合时说明只有一个元素
public static void mergeSort1(int beginIndex,int endIndex){
if (beginIndex == endIndex){
//左右区间重合，说明只有一个元素，此时退出递归
return ;
}
int mid = (beginIndex + endIndex) / 2; //分割区间，用每次分割区区间的中点为分隔线
int rightIndex = mid + 1; //记录右边区间开始边界，这里将中间分割线向右移动一个下标，来定义右边区间开始线，中间分割线作为左边区间的结束线
mergeSort1(beginIndex ,mid ); //开始分割左边
mergeSort1(rightIndex,endIndex); //开始分割右边
}
2 . 从单个开始合并元素，合并的过程确保合并元素有序。
由于递归的特点，在分割完后会退回到上一次分割的位置，因此在执行完所有分割操作后，接下来的代码就是合并操作的代码，也就是从单个开始合并元素的代码。
对于合并操作基本思路是：
-
建立一个新数组，用来合并归并后排序的元素。
-
由于此时返回的子序列已经有序了，因此从两个子序列的第一个元素开始遍历，寻找符合要求的元素，并且放入新数组中。
例如：
此时合并的子序列如图。
假如我们要构建升序序列，此时从两个子序列的首个元素开始遍历寻找符合要求的元素。
此时符合要求的第一个元素就是最大的元素，因此将4元素放入新数组。
此后再将4的遍历指针向后移，重复此操作，若出现了某个序列遍历完了之后，将另一个序列直接放入新数组的末端。
此时右边已经遍历完成，将左边的所有剩余元素放到新数组的最后：
合并完成后，再将新数组的值复制到原来的数组的对应位置上。
直接上代码：
public static void mergeSort(int beginIndex, int endIndex) {
if (beginIndex == endIndex) {
return;
}
int resIndex = beginIndex; //定义一个开始标志，用于在合并的最后记录新数组应该复制的位置
int length = endIndex - beginIndex + 1;
int mid = (beginIndex + endIndex) / 2;
int rightIndex = mid + 1;
mergeSort(beginIndex, mid);
mergeSort(rightIndex, endIndex);
/* 以上是分割的代码
* -------------------------------------------------------------------------------------
* 以下是合并的代码
*/
boolean flag = false; //定义一个标志位，用于区分哪个区域元素先遍历完
int tempArr[] = new int[length]; //定义一个新数组用于存放
int tempIndex = 0; //定义一个临时下表用于新数组存放的元素位置
while (beginIndex <= mid) {
//开始遍历
if (arr[beginIndex] > arr[rightIndex]) {
//如果左边元素大于右边元素，左边元素放入新数组并且向后移动
tempArr[tempIndex++] = arr[beginIndex++];
} else {
//如果右边元素大于左边元素，右边元素放入新数组并且向后移动
if (rightIndex + 1 <= endIndex) {
//做一个边界处理
tempArr[tempIndex++] = arr[rightIndex++];
} else {
//若到达边界，标志位设置为true，此时标志着右边遍历先结束
tempArr[tempIndex++] = arr[rightIndex++];
flag = true; //若此时右边先遍历完，将标志位设置一下
break;
}
}
}
if (flag) {
//根据标志位信息，将剩余的区域元素放到新数组最后
while (beginIndex <= mid) {
tempArr[tempIndex++] = arr[beginIndex++];
}
} else {
while (rightIndex <= endIndex) {
tempArr[tempIndex++] = arr[rightIndex++];
}
}
for (int i = 0; i < tempIndex; i++) {
//将新数组复制到合并的区间中
arr[resIndex++] = tempArr[i];
}
}
由于遍历的特点，经过以上代码后，合并便完成，不再赘述。
测试代码：
public static void main(String[] args) {
int arr[] = {
1, 23, 456, 48, 897, 456, 12, 456, 789, 165, 32132, 456, 897, 156, 56, 41, 2, 4, 6, 8, 7};
mergeSort(arr,0, arr.length - 1);
System.out.println(Arrays.toString(arr));
}
运行结果：
复杂度：
| 时间复杂度（平均） | 时间复杂度（最坏） | 时间复杂度（最好） | 空间复杂度 | 是否稳定 |
|---|---|---|---|---|
| O(n Log n) | O(n Log n) | O(n Log n) | O(n) | 是 |