图论复习——最小生成树MST

知识点

• MST的构造
  Boruvka算法常用于解决这类问题：给你n个点，每个点有点权，任意两个点之间有边权，边权为两个点权用过某种计算方式得出，求最小生成树。动图

• MST上的确定性和存在性问题

• 最小生成树的两个性质：
  (1) 不同的最小生成树中,每种权值的边出现的个数是确定的
  (2) 不同的生成树中,某一种权值的边连接完成后,形成的联通块状态是一样的
  可以用这两个性质做最小生成树计数

• Kruskal重构树
  

• 令$a,b$路径上最长边最短： “最短的最长边”一定在MST上，所以我们求一下MST，再在MST上找$a,b$路径上的最长边。

• 问$n$个点$m$条边的无向连通图上任两点的最短距离，$m-n$很小：随便建一棵生成树，把图看成树上挂几条边 CF1051F The Shortest Statement

• trick： 对区间$[l,r]$操作$\Rightarrow$ 连边$l\to r+1$

题

CF888G Xor-MST

Boruvka + 01Trie树

Boruvka算法简介：
对图中所有的点$i$，找到$i$连向其它点的最小边，如果这条边还没加进$MST$，就把它加上。执行完后，把每个连通块缩成点。
不断重复上面的操作，直到只剩下一个连通块。
时间复杂度$O((m+n)logn)$

此题中，要让$a_i\oplus a_j$最小，就让$a_i,a_j$的高位尽量保持相等。
假设我们现在运行Boruvka，并且目前只剩两个连通块，那么设$p$表示所有的$a$的第1~$(p-1)$位（从高位数起）都相等，在第$p$位才出现不同。

那么在这两个连通块中一定不会有 连接$i,j$且$a[i]$的第$p$位和$a[j]$的第$p$位不同的边 ，也就是说$a$值的第$p$位为1的点构成一个连通块，$a$值的第$p$位为0的点构成一个连通块。

那么最后加入的边一定是 连接$i,j$且$a[i]$的第$p$位和$a[j]$的第$p$位不同的边，用 01Trie树 找到这样的最小边。

加完最后一条边，我们再递归回去，把$a$值的第$p$位为1的点连成一个连通块，$a$值的第$p$位为0的点连成一个连通块。

Code

CF1108F MST Unification

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CF733F Drivers Dissatisfaction

根据贪心，把$S$的费用全部用来降一条边的权值不比用来降多条边的权值劣。

枚举每一条边，看一下降这条边的答案是多少，最后取最优结果即可
先用Kruskal建出MST，设$sum$为MST里各边的权值和。

• 如果降树边：
  答案为$sum-\lfloor \frac{S}{c_i}\rfloor$（保证降完后该边是在MST里的）

• 如果降非树边：
  把降完权值后的非树边连上，原MST上出现一个环，我们找到环上最大的边删掉即为新的MST。
  每条非树边对应的环上最大边边权可以用倍增预处理出来。

Code

CF1416D Graph and Queries

Kruskal重构树
不会删边。所以考虑离线，按时间倒序进行操作，删边变成加边。

但是遇到的麻烦是，操作 1 是正序进行的，如果我们倒序操作，就不知道当前哪些点 $p_u=0$ 了。

解决方法是，先倒序遍历一遍所有操作，按“加边”的顺序，建出重构树。重构树优美的性质是，对任意一个节点 v，在某个时刻之前和它连通的节点，恰好在重构树上 v 的某个祖先的子树中。并且我们可以通过树上倍增，在 $O(logn)$ 的时间内找到这个祖先。

建出重构树后，我们回到正向的时间线。按正序处理所有询问（操作 1）。前面说过，在某个时刻和 v 连通的节点，在 v 某个祖先的子树中。先倍增找到这个祖先。它的子树是 dfs 序上连续的一段。我们预处理出重构树的 dfs 序，那么问题转化为求区间最大值，支持单点修改。可以用线段树维护。

Code

CF1253F Cheap Robot

法一：
先预处理出$di{s}_u$表示$u$到最近的充电中心的距离（求多源最短路戳这）
从$a$到$b$的路径 能经过边$(u\to v,w)$，当且仅当$c-di{s}_u-w\ge di{s}_v$，即$di{s}_u+di{s}_v+w\le c$。

那么问题变成求一条从$a$到$b$的路径使得路径上每条边的$di{s}_u+di{s}_v+w$的最大值最小（明显是满足条件的最小的$c$）。

可以用Kruskal重构树实现，
也可以用NOIP2013货车运输/BZOJ3732 Network的套路实现：
“最短的最长边”一定在MST上，所以我们求一下MST，再在MST上找$a,b$路径上的最长边。

法二：
在任意两个充电中心$i,j$之间连边，边权$d_{i,j}$为原图上$i,j$之间的最短距离。
那么$c$为新图中从$a$到$b$的路径上最长边的最小值。法一中已经解决了这个问题。

现在的问题是如何求$d_{i,j}$，这里介绍一种剪枝方法：
先跑多源最短路，对每个点$i$求出离$i$最近的充电中心$f_i$和到$f_i$的最短距离$di{s}_i$，然后枚举原图中的每条边$(u\to v,w)$，在新图上连边$f_u\to f_v$，边权$w^{\prime }$为$di{s}_u+di{s}_v+w$，
可以证明 m i n f u → f v { w ′ [ f u → f v ] } = d u , v min_{fu\to fv}\{w'[fu\to fv]\}=d_{u,v} minfu→fv​{ w′[fu→fv]}=du,v​。同样的剪枝方法见这里。

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CF1051F The Shortest Statement

$m-n<=20$，所以可以看成是一棵树上挂了几条边
树上求两点间最短距离用LCA
多出来的边怎么办？
找出所有非树边的端点记为特殊点，枚举u,v间路径过每一个特殊点的情况
(u,v路径要过非树边一定过特殊点，枚举过点的情况是因为可以用dijkstra)
因为u,v间路径只有 只过树边 和 不是只过树边 2种，所以一定不会漏(不保证不重,但没关系)

Code

CF1120D Power Tree

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