Conferencia de ensayo | Computación cuántica Estado de red tensor isométrica bidimensional

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Compartidor: Wu Shaojun  ｜Escuela**: Universidad de Ciencia y Tecnología Electrónica de China**

breve introducción

Superar el crecimiento exponencial de la complejidad al simular sistemas cuánticos de muchos cuerpos es un objetivo desafiante en física. Actualmente, para las propiedades del estado fundamental de sistemas cuánticos unidimensionales, los métodos basados ​​en estados de redes tensoriales (TNS) han proporcionado una forma eficaz de dar soluciones numéricas básicamente precisas. En sistemas bidimensionales, también se han logrado algunos avances mediante la introducción de algunos algoritmos para optimizar TNS para varios modelos de red. Esta vez, presentaremos un nuevo método de representación del estado cuántico, a saber, TNS isométrico, que puede usarse para describir el estado cuántico de un sistema bidimensional y tiene ventajas computacionales. Además, también presentaremos cómo usar mediciones locales para. reconstruir el estado cuántico. Un método para construir MPS, que tiene solo un número lineal de operaciones.

Artículos relacionados 1

**Título: Estados de redes tensoriales isométricas en dos dimensiones
Autor: Michael P. Zaletel y Frank Pollmann
Revista: **Phys. Rev. Lett.

**Fecha de publicación:** 24 de enero de 2020

Artículos relacionados 2

**Crédito: Tomografía de estado cuántica eficiente
Créditos: Marcus Cramer, Martin B. Plenio, Steven T. Flammia, Rolando Somma, David Gross, Stephen D. Bartlett, Olivier Landon-Cardinal, David Poulin y Yi-Kai Liu
:** Naturaleza Comunicaciones 1, 149(2010)

**Publicado:** 21 de diciembre de 2010

01

** introducción
**

(Fuente de la imagen: Nature volumen 618, páginas 500–505 (2023))

Recientemente, IBM implementó la simulación del modelo de Ising de campo transversal bidimensional en 127 procesadores cuánticos. A modo de comparación, es necesario utilizar simulaciones clásicas para obtener resultados precisos. Este trabajo utiliza observaciones de peso 1, peso 10 y peso 17 para medir el circuito cuántico del trotón de 5 pasos, y los resultados experimentales se muestran en la figura.

Al realizar simulaciones clásicas para obtener soluciones precisas, aquí se utiliza el método de cono de luz y profundidad reducida (LCDR). Se divide en dos partes. Una parte es reducir el número de capas de circuito que deben simularse a través de las características entre puertas cuánticas y la otra parte es considerar que los qubits relacionados con la cantidad de observación A son locales; Sólo es necesario considerar una parte de los qubits. Luego, Evolution puede calcular el resultado de la observación final en lugar de los 127 bits. Los números de qubit relacionados de las observaciones de peso 1, peso 10 y peso 17 son 31, 37 y 68 respectivamente. Vale la pena señalar que la simulación con 68 qubits aún está más allá de las capacidades de las simulaciones de fuerza bruta realizadas por computadoras clásicas. Por lo tanto, este trabajo introduce redes tensoriales, estados de productos matriciales 1D (MPS) y estados de redes tensoriales isométricas 2D (iso TNS), para simulación.

02

** Introducción al estado del producto Matrix (MPS)
**

1. Conocimientos básicos de tensores.

(1) Definición y representación gráfica

(2) Contracción del mismo indicador.

2 、 MPS

Para un sistema unidimensional con N puntos de cuadrícula, si cada punto de cuadrícula tiene d estados cuánticos, el espacio de Hilbert de múltiples cuerpos se puede expresar como el producto tensorial del espacio de Hilbert de cuadrícula:

Las posturas múltiples arbitrarias correspondientes se pueden expresar como:

(Fuente de la imagen: arXir:1603.03039, 2016)

La idea central del estado del producto matricial (MPS) es expresar el estado de varios cuerpos como:

(Fuente de la imagen: arXir:1603.03039, 2016)

Cada unidad es un tensor de tercer orden, en el que el índice físico es el estado cuántico del punto de la cuadrícula, y el índice auxiliar puede considerarse como el entrelazamiento cuántico entre este y los sistemas izquierdo y derecho.

Descomposición SVD:

Para una matriz compleja general A, existe una descomposición tal que , donde

es una matriz diagonal con dimensión , y los elementos en la diagonal se llaman valores singulares. En términos generales, los valores singulares se ordenan de mayor a menor a lo largo de la diagonal.

(Fuente de la imagen: arXir:1603.03039, 2016)

Donde S representa valor singular. Si el entrelazamiento entre las dos partes del sistema no es fuerte, el espectro de valores singulares tiende a decaer rápidamente y solo es necesario retener menos valores singulares para retener la mayor parte de la información de la matriz. Supongamos que estipulamos que cada grupo de descomposiciones de Schmidt retenga no más de m valores singulares. Al final, solo necesitamos un número real para representar aproximadamente este estado de múltiples cuerpos. En comparación con el método de representación original que requiere 1 parámetro, esta representación tiene una complejidad espacial lineal para el número de puntos de la cuadrícula y la eficiencia es mucho mayor que la complejidad de crecimiento exponencial de la representación del producto tensorial original.

(Fuente de la imagen: arXir:1603.03039, 2016)

El proceso de obtención de MPS:

(Fuente de la imagen: arXir:1603.03039, 2016)

PORQUE:

Para un operador de muchos cuerpos, como los estados, podemos escribir el operador de muchos cuerpos en forma de producto matricial (MPO):

A diferencia de los estados, el hamiltoniano compuesto por operadores locales se puede escribir naturalmente en forma de productos matriciales:

(Fuente de la imagen: arXir:1603.03039, 2016)

El operador del producto matricial aún mantiene la estructura del producto matricial después de actuar sobre el estado del producto matricial:

(Fuente de la imagen: arXir:1603.03039, 2016)

03

Estados de redes tensoriales isométricas en dos dimensiones.

1. Resumen

Los estados de redes tensoriales son una herramienta prometedora pero numéricamente desafiante para problemas cuánticos bidimensionales de muchos cuerpos. En este artículo, los autores presentan TNS ansatz isométricamente restringido, una forma que permite una contracción eficiente de redes tensoriales. Para comparar numéricamente ansatz, los autores primero demostraron que la representación MPS del estado fundamental del modelo de Ising de campo transversal bidimensional se puede convertir efectivamente a isoTNS. De hecho, los autores implementaron un algoritmo TEBD 2D y demostraron que efectivamente. encuentra la forma isoTNS. Aproximación del estado fundamental del modelo 2D.

2. Estado de la red tensorial isométrica

1) Condición de isometría: para una matriz dimensional M, o

. En los diagramas tensoriales, las flechas se usan generalmente para indicar la ortogonalidad, que estipula que la matriz unitaria se obtiene reduciendo el índice interno del tensor y su tensor conjugado.

2) Forma canónica de MPS:

Entre ellos, A y B satisfacen las condiciones ortogonales izquierda y derecha. La condición ortogonal izquierda significa que la contracción del cuanto anterior y su propia transposición es una matriz unitaria, y la condición ortogonal derecha significa que la contracción del cuanto siguiente y su propia transposición es una matriz unitaria, que representa un elemento diagonal. La matriz diagonal también se llama centro ortogonal.

3) El valor esperado de la operación local se puede obtener directamente porque su tensor AB externo se reduce a 1 según la condición de isometría.

(Fuente de la imagen: Phys. Rev. Lett. 124, 037201)

4. Generalizar a dos dimensiones:

Por analogía con la fórmula anterior, requerimos que cada fila y columna de TNS sea una isometría. Esta restricción puede exigirse aún más exigiendo que cada tensor sea una isometría. Como se muestra en la Figura d arriba, la parte roja solo tiene flechas hacia adentro. Por lo tanto, esta es la "hipersuperficie ortogonal" unidimensional de TNS, que es la función de onda bajo la base ortonormal estándar. Por lo tanto, se puede procesar como MPS y. se puede poner en una forma canónica unidimensional (su centro ortogonal se puede mover libremente usando el algoritmo canónico unidimensional). Para cualquier operador , existe , es decir, hay una reducción de dimensionalidad del valor esperado unidimensional que puede calcularse eficientemente mediante el algoritmo MPS estándar sin mayor aproximación. Esto contrasta marcadamente con el TNS general, donde el valor esperado requiere el uso de una contracción aproximada de toda la red.

3. Hipersuperficie ortogonal en movimiento

La forma ortogonal central sólo es útil desde el punto de vista computacional si la hipersuperficie ortogonal Lammda se puede mover de manera eficiente por toda la red. En una dimensión, podemos lograr el movimiento del centro ortogonal mediante la descomposición (QR o SVD) de cualquier matriz ortogonal. En dos dimensiones, también necesitamos mover toda la columna. Pero para sistemas bidimensionales, el método de descomposición matricial ortogonal no es válido porque destruye la localidad requerida para expresarse como MPS.

(Fuente de la imagen: Phys. Rev. Lett. 124, 037201)

En este artículo, el autor utiliza el método Moses Move para mover el centro de la superficie ortogonal. Como se muestra en la figura anterior, después del algoritmo MM, la hipersuperficie ortogonal se divide en el producto de los estados de columna ortogonal izquierda y cero sin indicadores físicos . Entre ellos, la descompresión se logra aplicando continuamente el proceso de "división" que se muestra en la Figura (b). El índice del punto central se agrupa en tres estados y se "divide" en tres tensores en dos pasos.

4. MPS extendido a isoNTS

(Fuente de la imagen: Phys. Rev. Lett. 124, 037201)

Dada una función de onda del estado fundamental , los autores propusieron un algoritmo iterativo que se puede poner en isoTNS y probaron el modelo de campo transversal único. Considere una tira y use DMRG para obtener el estado fundamental de un MPS 1D, donde cada "sitio" contiene la fila correspondiente de espines [Figura (a)]. Como se muestra en el tercer panel de la Figura a, MM se puede utilizar para "dividir" iterativamente las columnas de la función de onda , produciendo isoTNS. En este ejemplo, la dimensión del enlace se selecciona como 6. Cuando g = 3,5 (fase paramagnética), el error en cada sitio es . En este caso, . Los resultados se muestran en la Figura b, que muestra que la entropía de entrelazamiento de la segmentación a lo largo de la hipersuperficie ortogonal disminuye a medida que aumenta el número de iteraciones. La Figura c ilustra que a medida que aumenta el número de iteraciones, la entropía de entrelazamiento decae linealmente, lo que está en línea con las expectativas.

5. Algoritmo

(Fuente de la imagen: Phys. Rev. Lett. 124, 037201)

El autor también implementó el algoritmo. La idea principal de TEBD es utilizar el algoritmo de recocido basado en la descomposición de Trotter-Suzuki para hacer evolucionar el estado MPS inicializado aleatoriamente al estado fundamental, convertir el proceso de evolución en un problema de contracción de la red tensorial. Utilice el algoritmo TEBD para resolver la contracción. Específicamente, se propone un paso de tiempo trotterizado para isoTNS, que puede obtener el estado fundamental a través de la evolución del tiempo virtual. Suponiendo que solo existe interacción con el vecino más cercano, dividimos el hamiltoniano en términos que actúan sobre columnas y filas , y luego realizamos Trotterized , como se muestra en la Figura (a). Para actualizaciones 1D TEBD, se puede mejorar fácilmente al segundo orden. Comenzamos desde el centro ortogonal y luego movemos gradualmente el centro ortogonal llamando al algoritmo 1D TEBD estándar y al algoritmo MM. En un escaneo, el algoritmo son en realidad dos versiones anidadas de 1D TEBD, de ahí el nombre . Entre ellos, la evolución de se logra llamando a 1D TEBD, y su complejidad es la de MM , mientras que la complejidad de actualización completa de PEPS sin restricciones es . La Figura (c) muestra la densidad de error de energía del modelo de Ising de campo transversal g = 3,5 en función del tamaño del paso de Trotter para diferentes tamaños de sistema y dimensiones máximas de enlace . A medida que aumenta el tamaño del enlace , la energía mínima converge hacia el resultado exacto.

04

Tomografía de estado cuántica eficiente

1. Resumen

Inferir estados cuánticos a partir de datos medidos se vuelve inviable para sistemas más grandes porque el número de mediciones y la cantidad de cálculo requerido para procesarlas crece exponencialmente con el tamaño del sistema. En este artículo se propone un esquema de tomografía que es más ventajoso que la tomografía directa del tamaño del sistema. Este método requiere la manipulación uniforme de un número constante de subsistemas y se basa únicamente en un número lineal de manipulaciones experimentales. Este esquema se puede aplicar a una amplia gama de estados cuánticos, especialmente MPS.

2. Esquema basado en transformación unitaria

La idea central de este método es encontrar una secuencia de operaciones para desenredar una cadena de izquierda a derecha. Cada operación en esta secuencia es local e independiente de la dimensión N.

Supongamos que el estado ideal es , y asumimos que este estado cuántico es un MPS con una dimensión de enlace dada de R. El objetivo de este método es reconstruir esto .

Proceso algorítmico:

(Fuente de la imagen: Nature Communications 1, 149 (2010))

1) Primero, tomamos y luego hacemos una tomografía de estado cuántica estándar en los primeros k sitios, luego la matriz de densidad reducida de los primeros k sitios es:, esta matriz de densidad reducida tiene descomposición propia , donde ,. Por lo tanto, existe una matriz de densidad con un qudit menos cuyo rango R y suma de valores propios son iguales.

2). Luego, utilizamos la información para construir una matriz unitaria para las primeras k posiciones , que puede desenredar el primer sitio.

3) Aplicar la acción al estado original para obtener: Entre ellos, hay algunos estados puros en posición.

4). Luego repita el proceso anterior para las siguientes posiciones 2 a k+1. Por analogía, podemos obtener una secuencia de matrices unitarias , cada una de las cuales actúa en posiciones. Esta secuencia se convierte en , donde cada uno actúa en posiciones. Esta secuencia hace que , donde , sean algunos estados puros en las últimas posiciones k-1.

En resumen, este esquema deduce un circuito cuántico para preparar MPS. La descomposición MPS se puede obtener fácilmente mediante y .

3. Error
El error de este método proviene principalmente de dos aspectos. Uno es la incapacidad de expresar completamente el estado cuántico debido a la limitación de la dimensión del enlace, y el otro es el error causado por la medición.

Dada una matriz unitaria desenredada estimada , un estado arbitrario se puede expresar como: , donde es el vector de error.

En los siguientes pasos, podemos obtener el estado de la siguiente forma: , donde,

es el error acumulativo.

Podemos truncar este vector de error midiendo las primeras i partículas en la base estándar y seleccionando posteriormente el resultado de todos ceros. La probabilidad de que esto suceda es aproximada y deja al sistema en estado .

Luego de una serie de transformaciones unitarias, el estado final es:

Entre ellos, por tanto, .

Podemos encontrar que el error se acumula linealmente con el número de partículas, y el MPS que obtenemos se registra como: , entonces tenemos:

en, . El error global es como máximo la suma de los errores individuales en cada paso.

 

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