Il s'agit d'une note d'étude qui sera continuellement complétée et améliorée.
nombre hypercomplexe
Les nombres hypercomplexes sont des nombres complexes généralisés . Hamilton a généralisé les nombres complexes et introduit les quaternions . Ce nombre complexe généralisé est un nombre hypercomplexe .
Combiné avec des pluriels ordinaires, il est facile de comprendre ce qui suit.
1 définition
UNE = une 0 + une 1 je + une 2 j + une 3 k UNE=a_0+a_1i+a_2j+a_3kUN=un0+un1je+un2j+un3k est un nombre multiple.
une = ∣ UNE ∣ = ( une 0 2 + une 1 2 + une 2 2 + une 3 2 ) 1 / 2 une=|A|=(a_0^2+a_1^2+a_2^2+a_3^2)^ {1/2}un=∣ UNE ∣=( un02+un12+un22+un32)1/2 est appelé hyperparamètreAALe module de A.
je , j , ki, j, kje ,j ,k est appelé hyperparamètreAALes unités imaginaires,deuxième et troisième dimensions de A.
2 Propriétés associées
2.1 Égalité hypercomplexe
Deux multiples A = a 0 + a 1 i + a 2 j + a 3 k A=a_0+a_1i+a_2j+a_3kUN=un0+un1je+un2j+un3k sommeB = b 0 + b 1 je + b 2 j + b 3 k B=b_0+b_1i+b_2j+b_3kB=b0+b1je+b2j+b3k。
(1)UNE = B ⇔ une = bn ( n = 0 , 1 , 2 , 3 ) UNE=B\Leftrightarrow a_n=b_n \ (n=0,1,2,3)UN=B⇔unn=bn ( n=0 ,1 ,2 ,3 )
(2)m ( une 0 + une 1 je + une 2 j + une 3 k ) = à 0 + à 1 je + à 2 j + à 3 km(a_0+a_1i+a_2j+a_3k)=ma_0+ma_1i +ma_2j+ma_3km ( une0+un1je+un2j+un3k )=ma _0+ma _1je+ma _2j+ma _3k，mmm est un nombre réel.
2.2 Nombres hypercomplexes conjugués
Supermultiple A = a 0 + a 1 i + a 2 j + a 3 k A=a_0+a_1i+a_2j+a_3kUN=un0+un1je+un2j+un3k，UNE ˉ = une 0 - une 1 je - une 2 j - une 3 k \bar{A}=a_0-a_1i-a_2j-a_3kUNˉ=un0−un1je−un2j−un3k estAALesnombres hypercomplexes conjuguésde A.
∣ UNE ∣ = ∣ UNE ˉ ∣ , UNE ˉ = B ˉ ⇔ an = bn ( n = 0 , 1 , 2 , 3 ) |A|=|\bar{A}|, \bar{A}=\bar{ B}\Leftrightarrow a_n=b_n \ (n=0,1,2,3)∣ UNE ∣=∣UNˉ ∣,UNˉ=Bˉ⇔unn=bn ( n=0 ,1 ,2 ,3 )
2.3 Règle de multiplication
Deux supermultiples A = a 0 + a 1 i + a 2 j + a 3 k A=a_0+a_1i+a_2j+a_3kUN=un0+un1je+un2j+un3k sommeB = b 0 + b 1 je + b 2 j + b 3 k B=b_0+b_1i+b_2j+b_3kB=b0+b1je+b2j+b3produit de k
AB = [ une 0 + une 1 je + une 2 j + une 3 k ] [ b 0 + b 1 je + b 2 j + b 3 k ] = ⋯ = une 0 b 0 - une 1 b 1 + ( une 0 b 1 + b 0 une 1 ) je \begin{aligned} AB&=[a_0+a_1i+a_2j+a_3k][b_0+b_1i+b_2j+b_3k] \\ &=\cdots \\ &=a_0b_0-a_1b_1+(a_0b_1+ b_0a_1)i \end{aligné}Un B=[ un0+un1je+un2j+un3k ] [ b0+b1je+b2j+b3k ]=⋯=un0b0−un1b1+( un0b1+b0un1) je
C'est-à-dire le produit régulier de nombres complexes.
3 Expressions trigonométriques
Supermultiple A = a 0 + a 1 i + a 2 j + a 3 k A=a_0+a_1i+a_2j+a_3kUN=un0+un1je+un2j+un3k nommeu , v , wu, v, wtoi ,v ,w pourAALes premier, deuxième et troisième coins de A.
une 0 = une cos u cos v cos w a_0=a\cos u\cos v\cos wun0=unparce quetuparce quevparce quew，une 1 = une cos u cos v sin w a_1=a\cos u\cos v\sin wun1=unparce quetuparce quevpéchéw，une 2 = une cos u péché v a_2=a\cos u\sin vun2=unparce quetupéchév，une 3 = un péché u a_3=a\sin uun3=unpéchétu。
UNE = une 0 + une 1 je + une 2 j + une 3 k = ( une , u , v , w ) = une ( cos u cos v cos w + je cos u cos v péché w + j cos u péché v + k péché u ) \begin{aligné} A&=a_0+a_1i+a_2j+a_3k \\ &=(a,u,v,w) \\ &=a(\cos u\ cos v\cos w+i\cos u\cos v\sin w+j\cos u\sin v+k\sin u) \end{aligné}UN=un0+un1je+un2j+un3k=( un ,toi ,v ,w )=un ( costuparce quevparce quew+jeparce quetuparce quevpéchéw+jparce quetupéchév+kpéchétu )
quelques conclusions
Définir les supermultiples A = ( a , u 1 , v 1 , w 1 ) , B = ( b , u 2 , v 2 , w 2 ) A=(a,u_1,v_1,w_1),B=(b, u_2, v_2,w_2)UN=( un ,tu1,v1,w1) ,B=( b ,tu2,v2,w2) , nombre réelmmm，则
(1)m ( une , u 1 , v 1 , w 1 ) = ( ma , mu 1 , mv 1 , mw 1 ) m(a,u_1,v_1,w_1)=(ma,mu_1,mv_1, mw_1)m ( une ,tu1,v1,w1)=( maman ,moi tu1,m v1,m w1)
(2)( une , u 1 , v 1 , w 1 ) ( b , u 2 , v 2 , w 2 ) = ( ab , u 1 + u 2 , v 1 + v 2 , w 1 + w 2 ) (a,u_1,v_1,w_1)(b,u_2,v_2,w_2)=(ab,u_1+u_2,v_1+v_2,w_1+w_2)( un ,tu1,v1,w1) ( b ,tu2,v2,w2)=( ab ,tu1+tu2,v1+v2,w1+w2)
(3)( une , u 1 , v 1 , w 1 ) / ( b , u 2 , v 2 , w 2 ) = ( une / b , u 1 - u 2 , v 1 - v 2 , w 1 - w 2 ) (a,u_1,v_1,w_1)/(b,u_2,v_2,w_2)=(a/b,u_1-u_2,v_1-v_2,w_1-w_2)( un ,tu1,v1,w1) / ( b ,tu2,v2,w2)=( un / b ,tu1−tu2,v1−v2,w1−w2)
(4)( une , u 1 , v 1 , w 1 ) n = ( une , nu 1 , nv 1 , nw 1 ) (a,u_1,v_1,w_1)^n=(a^n,nu_1,nv_1 ,nw_1)( un ,tu1,v1,w1)n=( unn ,n vous1,n v1,n w1)
(5) SupermultipleA = ( a , u , v , w ) A=(a,u,v,w)UN=( un ,toi ,v ,w ) nombre hypercomplexe conjuguéA ˉ = ( a , − u , − v , − w ) \bar{A}=(a,-u,-v,-w)UNˉ=( un ,− tu ,− v ,− w ) , 则
( UNE ˉ ) n (\bar{A})^n(UNˉ )n estA n A^nUNLes nombres hypercomplexes conjuguésde n .
(6) Soit le nombre hypercomplexeA = ( a , u , v , w ) A=(a,u,v,w)UN=( un ,toi ,v ,w )，f ( UNE ) = c 0 + c 1 UNE + ⋯ + cn UNE nf(A)=c_0+c_1A+\cdots+c_nA^nf ( UNE )=c0+c1UN+⋯+cnUNn，cj ( j = 0 , 1 , ⋯ n ) c_j (j=0,1,\cdots n)cje( j=0 ,1 ,⋯n ) est un nombre réel, alorsf ( A ˉ ) f(\bar{A})f (UNˉ )estf ( UNE ) f(A)Nombres hypercomplexes conjugués de f ( A ) .
Pour (6), il y a une manière simple de comprendre : on peut poser A ˉ \bar{A}UNˉAmener dansf ( A ) f(A)f ( UNE )中，可以得到：
f ( UNE ) = c 0 + c 1 UNE + ⋯ + cn UNE n = c 0 + c 1 ( une , u , v , w ) + ⋯ + cn ( une , nu , nv , nw ) \begin{aligned} f(A)&=c_0+c_1A+\cdots+c_nA^n \\ &=c_0+ c_1(a,u,v,w)+\cdots+c_n(a^n,nu ,nv,nw) \\ \end{aligné}f ( UNE )=c0+c1UN+⋯+cnUNn=c0+c1( un ,toi ,v ,w )+⋯+cn( unn ,non , _n v ,n w )
f ( UNE ˉ ) = c 0 + c 1 UNE ˉ + ⋯ + cn ( UNE ˉ ) n = c 0 + c 1 ( une , - u , - v , - w ) + ⋯ + cn ( une , - nu , − nv , − nw ) \begin{aligned} f(\bar{A})&=c_0+c_1\bar{A}+\cdots+c_n(\bar{A})^n \\ &=c_0+ c_1( a,-u,-v,-w)+\cdots+c_n(a^n,-nu,-nv,-nw) \\ \end{aligned}f (UNˉ )=c0+c1UNˉ+⋯+cn(UNˉ )n=c0+c1( un ,− tu ,− v ,− w )+⋯+cn( unn ,− n u ,− n v ,− n w )
Il n'est pas difficile de voir que la valeur absolue du quaternion est complètement symétrique et que les trois angles sont des nombres mutuellement opposés. Après addition spatiale, f ( A ) f(A)f ( UNE )、f ( UNE ˉ ) f(\bar{A})f (UNˉ )etAAUNE、UNE ˉ \bar{A}UNˉLa similarité est la relation conjuguée.