Notes d'étude sur la simplification du réseau (QEM)

Simplification du maillage (QEM)

1 Présentation et principe

La simplification du maillage simplifie l'expression du modèle en réduisant le nombre de sommets, d'arêtes et de faces des données de maillage complexes. Dans le domaine du graphisme, cette technologie est également appelée Niveau de détails (LOD, détails multi-niveaux).

1.1 Application de la simplification du maillage

• Rendu multi-résolution : pour les modèles avec des tailles de projection plus petites (affichées à distance), une version simplifiée de celui-ci peut être rendue pour remplacer le maillage original de haute complexité par des détails riches, améliorant ainsi l'efficacité du rendu.
• Simulation proxy : effectuez une simulation sur un modèle simplifié, puis obtenez des résultats de simulation approximatifs de la grille complexe d'origine grâce à la méthode d'interpolation pour améliorer l'efficacité de la simulation. ${}^{\left[1\right]}$

1.2 Opérations simplifiées communes

• Décimation du sommet

  Sélectionnez un sommet à supprimer, supprimez les faces adjacentes à ce sommet, puis retriangulez le trou obtenu.

• Clustering de sommets

  

  Divisez le cadre de délimitation de la grille d'origine en une grille, regroupez les sommets de chaque cellule en un seul, puis mettez à jour les faces de la grille en fonction des sommets regroupés.

• Contraction des bords

  

  $(v_{},v_{})\to \overline{v}$, réduisez une arête à un point et supprimez les faces dégénérées (ombrées dans l'image ci-dessus).

• Contraction des paires

  En tant que généralisation de la contraction des bords, si la paire de points $(v_{},v_{})$ est une arête, alors cela équivaut à une contraction d'arête ; si la paire de points$(v_{},v_{})$ n'est pas une arête, alors la réduction de la paire de points reliera ensemble les parties initialement déconnectées.

1.3 Mesure de l'erreur quadratique

Afin de garantir que la distance locale entre les sommets rétrécis et le maillage d'origine n'est pas trop grande, nous choisissons une méthode basée sur une métrique de distance quadratique pour trouver le point de rétrécissement optimal.

Trouvez le point de retrait optimal en fonction de la distance quadratique

Pour le calcul de la formule ici, veuillez consulter l'explication détaillée de la méthode QEM de simplification de grille , qui est expliquée très clairement dans l'article.

Considérons un retrait des bords. Pour deux points $v_{},v_{}$, se rétrécit en un point $\bar{v}$。定义 plan$\left(v_{}\right)$ représente$v_{}$Les surfaces triangulaires d'origine correspondantes, alors notre objectif d'optimisation est
$$\bar{v}=\underset{v}{arg}\underset{p\in \text{ plan }\left(v_{}\right)\cup \text{ avion }\left(v_{}\right)}{}\mathrm{distance}(v,p{)}^2$$
Ce qui suit simplifie étape par étape. Laissez l'avion$L\text{'}expression\; de\; p$ est$unx+par\_+cz+d=0$ , où${un}^2+b^2+c^2=1.$记$v=[X,oui,z,1{]}^T,p=[une,b,c,ré{]}^T$，可得
$$\mathrm{distance}(v,p{)}^2={\left(v^{T}p\right)}^2=v^{T}p{p}^{Télévision}\_=v^{TK}{\_}_{}voù$$ K p = pp T K_p=pp^
T$K_{}=p{p}^T$，则原式简化为
$$\bar{v}=\underset{v}{arg}{v}^T\left(\underset{p\in \text{ plan }\left(v_{}\right)\cup planane\left(v_{}\right)}{}{K}_{}\right)v$$
此处取约等于
$$\bar{v}\approx \underset{v}{arg}{v}^T\left(\underset{p\in \mathrm{plan}\left(v_{}\right)}{}{K}_{}+\underset{p\in \mathrm{plan}\left(v_{}\right)}{}{K}_{}\right)v$$
令$Q_{}={\sum }_{p\in \text{ plan }(v_{}}{K}_{}$，则有
$$\bar{v}=\underset{v}{arg}{v}^T\left(Q_{}+Q_{}\right)$$
Lorsque$$v$$$le\; plan\left(v\right)$ est défini sur le pointv \mathrm{v}Les faces triangulaires autour$de\; v\; suffisent.$À l'heure actuelle, le signe égal ci-dessus n'est pas grave, car une face triangulaire peut être répétée au maximum trois fois (trois sommets), ce qui non seulement n'entraîne pas de grandes erreurs, mais simplifie également le calcul.
De plus,$K_{}$est une matrice symétrique, donc $Il\; en\; va\; de\; même\; pour\; Q$ , il n'a donc besoin que de stocker 10 éléments.
À ce moment, résolvez$\stackrel{Les\; coordonnées\; de\; ˉ}{v}$ deviennent les points extrêmes de résolution de la fonction quadratique. ${}^{\left[2\right]}$

令$Q=Q_{}+Q_{}$, résolvez $\bar{v}$的坐标：
$$\left[\begin{array}{cccc}{q}_{}& q_{}& q_{}& q_{}\\ q_{}& q_{}& q_{}& q_{}\\ q_{}& q_{}& q_{}& q_{}\\ & & & \end{array}\right]\bar{v}=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ \end{array}\right]$$
Dans la formule ci-dessus, $q_{}$signifie QQLa valeur du premier élément de la première ligne de$Q$$\stackrel{ˉDes\; coordonnées\; homogènes}{v}$ sont utilisées. Si la matrice du côté gauche de la formule ci-dessus est inversible, alors
$$\bar{v}={\left[\begin{array}{cccc}{q}_{}& q_{}& q_{}& q_{}\\ q_{}& q_{}& q_{}& q_{}\\ q_{}& q_{}& q_{}& q_{}\\ & & & \end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ \end{array}\right]$$
Si irréversible, alors ${}^{\left[4\right]}$
$$\begin{gathered} v=(1-k)v_{}+k{v}_{},\text{où}k\in [0,1] \\ \bar{v}=\underset{v}{arg}{v}^T\left(Q_{}+Q_{}\right)Si\; v \end{gathered}$$
ne fonctionne toujours pas, sélectionnez les points de terminaison$v_{},v_{}$Ou point médian $\frac{v_{}+v_{}}{2}$Erreur parmi les trois ( $ré\left(v\right)=v^{T}Qv$) minimum comme$\bar{v}$ ${}^{\left[3\right]}$。

2 Processus algorithmique

Source de la figure : simplification de la grille QEM - Jianshu (jianshu.com)

2.1 Analyse étape par étape

• Calculer QQ de tous les sommets initiauxMatrice$Q$

  Laissez l'avion $L\text{'}expression\; de\; p$ est$unx+par\_+cz+d=0$ , où${un}^2+b^2+c^2=1.$记$p=[une,b,c,ré{]}^{T.}$ _ A partir de là, nous définissons$Q_{}$(4x4, point $v_{}$QQ cible$Matrice\; Q$ ) comme suit :
  $$Q_{}=\underset{p\in plansanes\left(v_{}\right)}{}p{p}^T$$

• Choisissez une paire légale

  Une paire de sommets $(v_{},v_{})$ est une paire de points légale :

  • $(v_{},v_{})$ est une arête ;
  • $\Vert v{\_}_{}-v_{}\Vert <t$ ,$t$ est le paramètre de seuil.

  Il suffit de remplir l'une des conditions ci-dessus.

• Calculez chaque paire de points légaux $(v_{},v_{})$ l'erreur de retrait minimale$coût{\_}_{}$, et le point de contraction optimal $v_{oups}$la position

  Calculez d’abord $v_{oups}$Q correspondant $Q_{oups}$：
  $$Q_{oups}=Q_{}+Q_{}=\left[\begin{array}{cccc}{q}_{}& q_{}& q_{}& q_{}\\ q_{}& q_{}& q_{}& q_{}\\ q_{}& q_{}& q_{}& q_{}\\ q_{}& q_{}& q_{}& q_{}\end{array}\right].define$$ costij cost_{ij
  }$coût{\_}_{}$Exemple :
  $$coût{\_}_{}=v^{TQ}{\_}_{oups}v$$
  minimise l'erreur de retrait et obtient$v_{oups}$. Pour des calculs spécifiques, voir la section précédente [Mesure de l'erreur quadratique] (#1.3 Mesure de l'erreur quadratique).

• Appuyez sur toutes les paires de points légaux en fonction de leur $coût{\_}_{}$sont placés en tas dans l'ordre, avec un $coût{\_}_{}$paire en haut

  Généralement, de petits tas de racines sont utilisés pour le tri.

• Supprimer le $coût{\_}_{}$Paire de points correspondante, contraction $(v_{},v_{})\to v_{oups}$, mettez à jour tous les éléments contenant $v_{}$ou $v_{}$Le coût coût de la paire de points légaux$coût\_$

  Cette étape est réalisée de manière itérative, et le signe de fin est que le taux de simplification fixé est atteint ou que le tas est vide ${}^{\left[5\right]}$。

3 Implémentation du code Python

En termes d'implémentation de code, il est recommandé d'étudier directement ce projet : Mesh_simplification_python : Une implémentation d'un algorithme de simplification de maillage utilisant python . Le code est entièrement commenté et bien organisé, ce qui mérite d'être appris.

3.1 Résultats des tests

Maillage du modèle d'entrée (9 397 sommets, 18 794 faces) :

$t=0,ratio\_\_=\mathrm{0,5}$（4698 sommets, 9396 faces）：

$t=0,ratio\_\_=\mathrm{0,1}$（939 sommets, 1878 faces）：

4 Résumé

• Optimisation des fonctions de code

  Les deux détails suivants ont également été mentionnés dans le document original :

  • préserver les limites

    Pour certains maillages de modèles qui doivent conserver les limites pendant le processus de simplification, nous déterminons si la paire de points est une arête de frontière lorsque la paire de points se rétrécit. Si tel est le cas, nous pouvons pondérer le coût de la paire de points avec un facteur de pénalité plus élevé pour éviter le rétrécissement. .

  • Empêcher la pâte de se retourner

    L'utilisation directe de l'algorithme QEM pour la simplification du maillage peut entraîner le retournement de certains correctifs. Par conséquent, lors du calcul du coût de retrait d’une paire de points, nous devons simultanément déterminer si chaque patch adjacent de la paire de points a été inversé. La taille de l'angle entre les vecteurs normaux du retrait avant et après peut être utilisée pour juger. Dans le même temps, nous punissons également ses coûts.

référence

[1] JEUX102 : 几何建模与处理
[2] https://zhuanlan.zhihu.com/p/411865616
[3] Michael Garland et Paul S. Heckbert. 1997. Simplification de la surface à l'aide de métriques d'erreur quadrique. Dans Actes de la 24e conférence annuelle sur l'infographie et les techniques interactives (SIGGRAPH '97). ACM Press/Addison-Wesley Publishing Co., États-Unis, 209-216. https://doi.org/10.1145/258734.258849
[4] https://www.jianshu.com/p/2bf615c38165
[5] https://github.com/AntonotnaWang/Mesh_simplification_python