時系列分析 - R に基づく | 第 3 章 ARMA モデルのプロパティ演習コード

時系列分析 - R に基づく | 第 3 章 ARMA モデルのプロパティ

過去の記事

時系列分析 - R に基づく | 第 1 章演習コード
 時系列分析 - R に基づく | 第 2 章時系列の前処理演習コード

ある $R (1)$ モデルは次のとおりです: $。$ $x_t=0.7x_{t-1}+\varepsilon_t,\varepsilon_t \sim WN(0,1)。$ 求 $E(x_t),Var(x_t),\rho_2$ および $\phi_{22}。$

$E\left(x_t\right)=\frac{\phi_{0}}{1-\phi_{1}}=\frac{0 ｛1-0.7｝=0$

$Var(x_t)=\frac{1}{1-\phi_{1}^{2}}=\frac{1 }{1-0.7^2}=1.96$

$\rho_2=\phi_1^2=0.7^2=0.49$

$\phi_{22}=\frac{\left|\begin{配列}{cc}1 & \rho_{1} \\\rho_{1} & \rho_{2}\end{配列}\right|}{\left|\begin{配列}{cc}1 & \rho_ {1} \\\rho_{1} & 1\end{配列}\right|}=\frac{0.49-0.7^{2}}{1-0.7^{2}}=0$
ある $\operatorname{AR}(2)が存在することが知られています。$ モデル: $x_t=\phi_1 x_{t-1}+\phi_2 x_{ t -2}+\varepsilon_t, \varepsilon_t \sim WN\left(0, \sigma_{\varepsilon}^2\right)$ 、 $\rho_1=$ $0.5、\rho_2=0.3$ 、求 $\phi_1, \phi_2$ 価値。

$A R (2)$ モデル:
$\left\{\begin{array} { l } { \rho _ { 1 } = \frac { \phi _ { 1 } } { 1 - \phi _ { 2 } } } \\ { \rho _ { 2 } = \phi _ { 1 } \rho _ { 1 } + \phi _ { 2 } } \end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array } { l } { 0 . 5 = \frac { \phi _ { 1 } } { 1 - \phi _ { 2 } } } \\ { 0 . 3 = 0。5 \phi _ { 1 } + \phi _ { 2 } } \end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} \phi_1=\frac{7}{15}, \phi_2=\ frac{1}{15} \\ \phi_2=\frac{1}{15} \end{配列}\right.\right.\right.$
ある $\operatorname{AR}(2)が存在することが知られています。$ モデルは次のとおりです: $x_t=\varepsilon_t , \varepsilon_t \sim WN(0,1)$ , 求 $E\left(x_t\right)$ , $\operatorname{Var}\left(x_t\right), \rho_k, \phi_{kk}$ 、ここで、 $k = 1 、 2 、３$ ．

(1) $x_t=\varepsilon_t \Leftrightarrow x_t=0.8 x_{t-1}-0.15 x_{t-2}+\varepsilon_t$
$E\left(x_t\right)=\frac{\phi_0}{1-\phi_1-\phi_2}=0$
(2)
$\begin{aligned} \operatorname{Var}\left(x_t\right) & =\frac{1-\phi_2}{\left(1+\phi_2\right) )\left(1-\phi_1-\phi_2\right)\left(1+\phi_1-\phi_2\right)} \\ & =\frac{1+0.15}{(1-0.15)(1-0.8+ 0.15)(1+0.8+0.15)} \\ & =1.98 \end{整列}$
(3)
$\begin{aligned} & \rho_1=\frac{\phi_1}{1-\phi_2}=\frac{0.8}{1+0.15}=0.70 \\ & \rho_2=\ phi_1 \rho_1+\phi_2=0.8 \times 0.7-0.15=0.41 \\ & \rho_3=\phi_1 \rho_2+\phi_2 \rho_1=0.8 \times 0.41-0.15 \times 0.7=0.22 \end{aligned}$
(4)
$\begin{aligned} \phi_{11} & =\rho_1=0.7 \\ \phi_{22} & =\phi_2= -0.15 \\ \phi_{33} & =0 \end{整列}$
$\operatorname{AR}(2)$ であることが知られています。 $AR (2)$ の数列は $x_t=x_{t-1}+c x_{t-2}+\varepsilon_t です。$ 、ここで $\left\{\varepsilon_t\right\}$ はホワイトノイズシーケンスです $c$ $\left\{x_t\right\} を$ 保証するためのものです。 ${\times}$ は定常シーケンスであり、シーケンス $\rho_k$ 表現。

(1) $A R (2)$ モデルの定常状態は次のようになります。

$\left\{\begin{array}{l}|c|<1 \\ c \ pm 1<1\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}-1<c<1 \\ c<0\end{array} \Rightarrow-1<c<0\right。 \右。$

(2) $\left\{\begin{array}{l}\rho_{1}=\frac{ 1}{1-c}、\\ \rho_{k}=\rho_{k-1}+c \rho_{k-2}、k \geq 2\end{array}\right。$
についてそれを証明してください $c$ , AR (3) は次のように定義されます $\mathrm{AR}(3)$ シーケンスは非定常シーケンスでなければなりません:
$x_t=x_{t-1} +c x_{ t-2}-c x_{t-3}+\varepsilon_t, \varepsilon_t \sim WN\left(0, \sigma_{\varepsilon}^2\right)$
証明:

この数列の特性方程式は次のとおりです: $\lambda^{3}-\lambda^{2}-c \lambda+c=0$ 場合、この特性方程式を解くと、次の 3 つの特性根が得られます。

$\lambda_{1}=1、 \quad \lambda_{2}=\sqrt{c}、 \quad \lambda_{3}=-\sqrt{c }$

問わず $c$ の値がどのようなものであっても、この方程式には単位円上に特性根があるため、数列は非定常数列でなければなりません。認証が完了しました。

AR ( 1 )の場合 $\mathrm{AR}(1)$ モデル: $x_t=\phi_1 x_{t-1}+\varepsilon_t, \varepsilon_t \sim WN\left( 0、\sigma_{\varepsilon}^2\right)$ として、次の命題が正しいかどうかを判断します:
(1) $\gamma_0=\left(1+\phi_1^2\right) \sigma_{\varepsilon}^2$
(2) $E\left[\left(x_t-\mu\right)\left(x_{t-1}-\mu\right )\right]=-\phi_1$
(3) $\rho_k=\phi_1^k$
(4) $\phi_{kk}=\phi_1^k$
(5) $\rho_k=\phi_1\rho_{k-1}$
もちろん！各ステートメントの答えと計算プロセスは次のとおりです。
(1) 错误。 $\gamma_0=\frac{\sigma_{\varepsilon}^2}{1-\phi_1^2}$
(2) 暗号。E $E\left[ \left(x_t-\mu\right)\left(x_{t-1}- \mu\right) \right]=\phi_1\gamma_1$ E ( xt ) = E [ ϕ 1 xt − 1 +
$\begin{aligned } E( x_t) &= E[\phi_1x_{t-1}+\varepsilon_t] \\ &= \phi_1E(x_{t-1})+E(\varepsilon_t) \\ &= \phi_1E(x_t)+ 0 \\ &= 0 \end{整列}$
これから、 $\mu=0を得ることができます。$ も、与えられた場合:
$\begin{aligned} E\left[\left(x_t-\mu\right)\left(x_{t-1}-\mu\ right) \right] &= E[x_tx_{t-1}] \\ &= E[(\phi_1x_{t-1}+\varepsilon_t)x_{t-1}] \\ &= \phi_1 E[x_ {t -1}^2] + E[\varepsilon_t x_{t-1}] \\ &= \phi_1 \gamma_0 \end{aligned}$
したがって、この命題は偽です。
(3) 正解です。AR(1) モデルには定常性と有限の 2 次モーメント特性があるため、 $k > 0$ $\rho_k=\phi_1^k に$ なります。 $r = ϕ_{1}$
(4) 定義 $\phi_{kk}=\begin{cases}\phi_1,&k=1\\ 0,&k\geqslant2\end{cases$ } $ϕ = {ϕ 、 0 k = 1 k ⩾$
(5) 正解です。AR(1) モデルには定常性と有限の 2 次モーメント特性があるため、 $k > 0$ $\rho_k=\phi_1\rho_{k-1} と$ なります。 $r = ϕ r_{k -}$ 。
ある集中型 $\mathrm{MA}(1)が存在することが知られています。$ モデルの一次自己相関係数 $\rho_1=0.4$ , このモデルの式を求めます。
$\rho_{ 1}=\frac{-\theta_{1}}{1+\theta_{1}^{2}}=0.4 \Rightarrow 0.4 \theta_{1}^{2}+\theta_{1}+0.4=0 \Rightarrow \theta_{1}=-2 \text { または} \theta_{1}=-\frac{1}{2}$

したがって、モデルには 2 つの可能な式があります: $x_{t}=\varepsilon_{t}+\frac{1}{2} \varepsilon_{t-1}$ 和 $x_{t}=\varepsilon_{t}+2 \varepsilon_{t-1}$ 。
定数 $C$ の値は、次の式が $\mathrm{MA}(2)$ モデル:

$x_t=10+0.5 x_{t-1}+\varepsilon_t-0.8 \varepsilon_{t-2}+C \varepsilon_ {t-3}$
将 $x_{t}=10+0.5 x_{t-1}+\varepsilon_{t}-0.8 \varepsilon_{ t-2}+C \バレプシロン_{t-3}$ 同等の式は、
$x_{t}-10=\frac{1-0.8 B です。 ^{2}+c B^{3}}{1-0.5 B} \varepsilon_{t}=\left(1+a B+b B^{2}\right) \varepsilon_{t}$

ルール

$\ begin{aligned} 1-0.8 B^{2}+c B^{3} & =\left(1+a B+b B^{2}\right)(1-0.5 B) \\ & =1+ (a-0.5) B+(b-0.5 a) B^{2}-0.5 b B^{3} \end{aligned}$

未定係数法によると、次のようになります。

$\begin{aligned} -0.8 & =a-0.5 \Rightarrow a=-0.3 \\ 0 & =-0.5 b \Rightarrow b=0 \\ c & =b-0.5 a \Rightarrow c=0.15 \end{aligned}$

既知の $\mathrm{MA}(2)$ モデル: $x_t=\varepsilon_t-0.7 \varepsilon_{t-1}+0.4 \ varepsilon_{t-2}, \varepsilon_t \sim WN\left(0, \sigma_{\varepsilon}^2\right)$ 。求 $E\left(x_t\right), \operatorname{Var}\left(x_t\right)$ 、および $\rho_k(k \geqslant 1)$ 。

(1) $E\left(x_{t}\right)=0$

(2) $\operatorname{Var}\left(x_{t}\right)=1+0.7^{2}+0.4^{2 }=1.65$

(3) $\rho_{1}=\frac{-0.7-0.7 \times 0.4} {1.65}=-0.59、\quad \rho_{2}=\frac{0.4}{1.65}=0.24、\quad \rho_{k}=0、k \geq 3$
証明する：

(1) 任意の定数 $c$ の場合、次のように定義される無限次 MA シーケンスは非定常シーケンスでなければなりません:
$x_{t}= \varepsilon_{t}+c\left(\varepsilon_{t-1}+\varepsilon_{t-2}+\cdots\right), \quad \varepsilon_{t} \sim WN\left( 0、\sigma_{ \varepsilon}^{2}\right)$

証明: 任意の定数 C について、次のようになります。

$\operatorname{Var}\left(x_{t}\right)=\lim_{k\rightarrow\infty}\ left ( 1 + k C ^ { 2 } \ right ) \ sigma_ { \ productpsilon } ^ { 2 } = \ infty$

したがって、この系列は非定常系列です。

(2) $\left\{x_{t}\right\}$ の一次差分シーケンスは $\left\{y_{t}\right\} を$ 自己相関係数式:
$y_{t}=x_{t}-x_{t-1}$

$y_{t}=x_{t}-x_{t-1}=\varepsilon_{t}+(C-1) \varepsilon_ {t-1}$ 、次にシーケンス $\left\{y_{t}\right\}$ 次の条件を満たします $。$

平均と分散は定数なので、

$E\left(y_{t}\right)=0, \operatorname{Var}\left(y_{ t}\right)=\left[1+(C-1)^{2}\right] \sigma_{\varepsilon}^{2}$

自己相関係数は時間間隔の長さにのみ関係し、開始時間とは関係ありません。

$\rho_{1}=\frac{C-1}{1+(C-1)^{2}}、 \rho_{k}=0, k \geq$

したがって、差分系列は定常系列となる。
次のモデルの定常性と可逆性をテストします。ここで、 $\left\{\varepsilon_{t}\right\}$ はホワイトノイズシーケンスです:
(1) $x_{t}=0.5 x_{t-1}+1.2 x_{t-2}+\varepsilon_{t}$
定常性のテスト: このモデルの特性方程式は、 $1-0.5z-1.2z^2=0です。$ の場合、解決策は特性根を $z_1=1.0517,\,z_2=-0.4784$ 。固有値の 1 つの係数が 1 より大きいため、モデルは静止していません。
(2) $x_{t}=1.1 x_{t-1}-0.3 x_{t-2}+\varepsilon_{t}$
定常性のテスト: このモデルの特性方程式は、 $1-1.1z+0.3z^2=0です。$ 、特性根は $z_1=0.3667、z_2=1.3667$ 。 $z_2|>1$ なので $∣z_∣ > 1$ なので、モデルは静止していません。
(3) $x_{t}=\varepsilon_{t}-0.9 \varepsilon_{t-1}+0.3 \varepsilon_{t-2}$
定常性のテスト: このモデルの特性方程式は、 $1+0.9z-0.3z^2=0です。$ 、特性根は $z_1=0.5,\,z_2=-0.6$ 。すべての固有根の係数の長さが 1 未満であるため、モデルは静止しています。可逆性のテスト: このモデルは ARMA と一致しています $(2 、 2)$ モデルは同じなので、リバーシブルです。
(4) $x_{t}=\varepsilon_{t}+1.3 \varepsilon_{t-1}-0.4 \varepsilon_{t-2}$
定常性のテスト: このモデルの特性方程式は、 $1-1.3z+0.4z^2=0です。$ の場合、解決策は特性根を $z_1=1.465,\,z_2=0.272$ 。固有値の 1 つの係数が 1 より大きいため、モデルは静止していません。可逆性のテスト: このモデルは ARMA と一致しています $(2 、 2)$ モデルは同じであるため、元に戻すことはできません。
(5) $x_{t}=0.7 x_{t-1}+\varepsilon_{t}-0.6 \varepsilon_{t-1}$
定常性のテスト: このモデルの特性方程式は、 $1-0.7z+0.6z^2=0です。$ 、特性根は $z_1=0.5,\,z_2=1$ . 特性ルートの 1 つの係数の長さは 1 に等しいため、可逆性をさらにテストする必要があります。可逆性のテスト: このモデルは ARMA $(1 、 1)$ モデルは同じであるため、リバーシブルです。
(6) $x_{t}=-0.8 x_{t-1}+0.5 x_{t-2}+\varepsilon_{ t}-1.1 \varepsilon_{t-1}$
定常性のテスト: このモデルの特性方程式は $1+0.8z-0.5z^2-1.1z^{-1}=0$ 、分内根の解 $z_1=1.0501,\,z _2=0.9804\pm0.10 83i、\,z_3=0.9452\pm0.2306i,\,z_4=0.7889\pm0.5491i,\,z_5=-0.9258\pm0.3732i,\,z_6=-0.9679\pm0.2607i,\,z_7=-0.9720 \pm0 .2341i,\,z_8=-0.9880\pm0.1402i,\,z_9=-0.9893\pm0.1303i,\,z_{10}=-1.0000$ 。特性ルートの 1 つの係数は 1 より大きいため、モデルは静止していません。可逆性のテスト: このモデルの特性方程式には反転演算子 $z^{-1}$ あるため、モデルは可逆的ではありません。
要約すると、(1) は静止していない、(2) は静止していない、(3) は静止していて可逆的、(4) は静止していなくて可逆的、(5) は静止していて可逆的、(6) は滑らかではなく、不可逆。
$\operatorname{ARMA}(1,1)$ であることが知られています。 $アルマ (1 、 1)$ モデルは次のとおりです: $x_{t}=0.6 x_{t-1}+\varepsilon_{t}-0.3 \varepsilon_{t-1}$ 、モデルが無限 $\mathrm{MA}と等価に表現できるように、モデルのグリーン関数を決定します。$ オーダーモデルフォームです。

このモデルの Green 関数は次のとおりです。

$G_{0}=1$

$G_{1}=\phi_{1} G_{0}-\theta_{1}=0.6-0.3=0.3$

$G_{k}=\phi_{1} G_{k-1}=\phi_{ 1}^{k-1} G_{1}=0.3 \times 0.6^{k-1}, k \geq 2$

したがって、モデルは等価的に次のように表すことができます: $x_{t}=\varepsilon_{t}+\sum_{k=0}^ {\infty} 0.3 \times 0.6^{k} \varepsilon_{tk-1}$
ある $\オペレーター名{WEAPON}(2,2)$ 定義: $\Phi(B) x_{t}=3+\Theta(B) \varepsilon_{\imath};$ , 求 $E\left(x_{t}\right)$ 。このうち、 $\varepsilon_{t} \sim WN\left(0, \sigma_{\varepsilon}^{2}\right)$ 、 $。\ファイ(B)=(1-0.5 B)^{2}。$
$\begin{aligned } & \Theta(B)=(1-0.5 B)^{2} \Rightarrow \phi_{1}=0.5, \quad \phi_{2}=-0.25 \\ & E\left(x_{t}\ right)=\frac{\phi_{0}}{1-\phi_{1}-\phi_{2}}=\frac{3}{1-0.5+0.25}=4 \end{aligned}$
ARMAを証明します $\operatorname{ARMA}(1,1)$ seqxt $x_{t}=0.5 x_{t-1}+\varepsilon_{t}-0.25 \ varepsilon_{t-1}, \varepsilon_{t} \sim WN\left(0, \sigma_{\varepsilon}^{2}\right)$ の自己相関係数は次のとおりです。

$\rho_{k}= \begin{cases}1, & k=0 \\ 0.27, & k=1 \\ 0.5 \rho_{k-1}、& k \geqslant 2\end{ケース}$

分母 $\phi_{1}=\frac{1}{2}、\theta_{1}=\frac{1}{4}$ による $A RM A (1, 1)$ モデルグリーン関数の再帰式は次のとおりです:
$G_{0}=1$ ,
$G_{1}=\phi_{1} G_{0}-\theta_{1}=0.5-0.25=\phi_{1} ^{2}$
$G_{k}=\phi_{1} G_{k-1}=\phi_{1}^ {k-1} G_{1}=\phi_{1}^{k+1}, k \geq 2$
$\rho_{0}=1$
$\begin{aligned} & \rho_{1}=\frac{ \sum_{j=0}^{\infty} G_{j} G_{j+1}}{\sum_{j=0}^{\infty} G_{j}^{2}}=\frac{\ phi_{1}^{2}+\sum_{j=1}^{\infty} \phi_{1}^{2 j+3}}{1+\sum_{j=1}^{\infty} \ phi_{1}^{2(j+1)}}=\frac{\phi_{1}^{2}+\frac{\phi_{1}^{5}}{1-\phi_{1}^ {2}}}{1+\frac{\phi_{1}^{4}}{1-\phi_{1}^{2}}}=\frac{\phi_{1}^{2}}\ phi_{1}^{4}+\phi_{1}^{5}}{1-\phi_{1}^{2}+\phi_{1}^{4}}=\frac{7}{26 }=0。27 \\ & \rho_{k}=\frac{\sum_{j=0}^{\infty} G_{j} G_{j+k}}{\sum_{j=0}^{\infty} G_ {j}^{2}}=\frac{\sum_{j=0}^{\infty} G_{j}\left(\phi_{1} G_{j+k-1}\right)}{\ sum_{j=0}^{\infty} G_{j}^{2}}=\phi_{1} \frac{\sum_{j=0}^{\infty} G_{j} G_{j+k -1}}{\sum_{j=0}^{\infty} G_{j}^{2}}=\phi_{1} \rho_{k-1}, k \geq 2 \end{aligned}$

認証が完了しました。

定常時系列の場合、次の方程式のうちどれが真でなければなりませんか?

(1) $\sigma_{\varepsilon}^{2}=E\left(\varepsilon_{1}^{2}\right)$

(2) $\operatorname{Cov}\left(y_{t}, y_{t+k}\right)=\operatorname{Cov }\left(y_{t}, y_{tk}\right)$

(3) $\rho_{k}=\rho_{-k}$

(4) $\widehat{y}_{t}(k+1)=\widehat{y}_{t+1}(k)$ 。

(1) 設立
(2) 設立
(3) 設立
(4) 設立

1915 年から 2004 年までのオーストラリアにおける年間銃器関連殺人死亡率 (10 万人当たり) を表に示します。
(1) 据え置き型と判断された場合、その据え置き型シリーズがARMAのどのモデルに該当するかを判断してください。
(2) シーケンスが非定常であると判断された場合は、一次差分後のシーケンスの定常性と相関特性を調べてください。

年	死亡率
1915	0.5215052
1916	0.4248284
1917	0.4250311
1918	0.4771938
1919	0.8280212
1920	0.6156186
1921	0.366627
1922	0.4308883
1923	0.2810287
1924	0.4646245
1925	0.2693951
1926	0.5779049
1927	0.5661151
1928	0.5077584
1929	0.7507175
1930	0.6808395
1931	0.7661091
1932	0.4561473
1933	0.4977496
1934	0.4193273
1935	0.6095514
1936	0.457337
1937	0.5705478
1938	0.3478996
1939	0.3874993
1940	0.5824285
1941	0.2391033
1942	0.2367445
1943	0.2626158
1944	0.4240934
1945	0.365275
1946	0.3750758
1947	0.4090056
1948	0.3891676
1949	0.240261
1950	0.1589496
1951	0.4393373
1952	0.5094681
1953	0.3743465
1954	0.4339828
1955	0.4130557
1956	0.3288928
1957	0.5186648
1958	0.5486504
1959	0.5469111
1960	0.4963494
1961	0.5308929
1962	0.5957761
1963	0.5570584
1964	0.5731325
1965	0.5005416
1966	0.5431269
1967	0.5593657
1968	0.6911693
1969	0.4403485
1970	0.5676662
1971	0.5969114
1972	0.4735537
1973	0.5923935
1974	0.5975556
1975	0.6334127
1976	0.6057115
1977	0.7046107
1978	0.4805263
1979	0.702686
1980	0.7009017
1981	0.6030854
1982	0.6980919
1983	0.597656
1984	0.8023421
1985	0.6017109
1986	0.5993127
1987	0.6025625
1988	0.7016625
1989	0.4995714
1990	0.4980918
1991	0.497569
1992	0.600183
1993	0.3339542
1994	0.274437
1995	0.3209428
1996	0.5406671
1997	0.4050209
1998	0.2885961
1999	0.3275942
2000	0.3132606
2001	0.2575562
2002	0.2138386
2003	0.1861856
2004	0.1592713

1. データを時系列変数に変換し、視覚化します。

data <- read.table('./时间序列分析——基于R（第2版）习题数据/习题3.16数据.txt', header = TRUE, sep = "\t")
#将年份转换为时间序列类型
death <- ts(data$死亡率, start = c(1915), end = c(2004), frequency = 1)
#可视化
plot(death, type = "l", main = "1915-2004年澳大利亚枪支凶杀案死亡率",
     xlab = "年份", ylab = "死亡率")

ここに画像の説明を挿入します
2. 時系列に対して定常性テストを実行します。

library(tseries)
## Registered S3 method overwritten by 'quantmod':
##   method            from
##   as.zoo.data.frame zoo
#进行ADF检验
adf.test(death)
## 
##  Augmented Dickey-Fuller Test
## 
## data:  death
## Dickey-Fuller = -1.2491, Lag order = 4, p-value = 0.8853
## alternative hypothesis: stationary
#进行KPSS检验
kpss.test(death)
## Warning in kpss.test(death): p-value greater than printed p-value
## 
##  KPSS Test for Level Stationarity
## 
## data:  death
## KPSS Level = 0.19826, Truncation lag parameter = 3, p-value = 0.1

結論:
ADF 検定の p 値は 0.05 より大きく、帰無仮説は棄却できません。つまり、シーケンスは定常ではありません。KPSS 検定の p 値は 0.05 未満で、帰無仮説は次のとおりです
。拒否されました。つまり、シーケンスは定常ではありません。

3. 一階差分演算を実行し、定常性テストを再度実行します。

diff_ts <- diff(death)
#可视化
plot(diff_ts, type = "l", main = "差分后的1915-2004年澳大利亚枪支凶杀案死亡率",
     xlab = "年份", ylab = "差分后的死亡率")

ここに画像の説明を挿入します

#进行ADF检验
adf.test(diff_ts)
## Warning in adf.test(diff_ts): p-value smaller than printed p-value
## 
##  Augmented Dickey-Fuller Test
## 
## data:  diff_ts
## Dickey-Fuller = -5.1026, Lag order = 4, p-value = 0.01
## alternative hypothesis: stationary
#进行KPSS检验
kpss.test(diff_ts)
## Warning in kpss.test(diff_ts): p-value greater than printed p-value
## 
##  KPSS Test for Level Stationarity
## 
## data:  diff_ts
## KPSS Level = 0.099305, Truncation lag parameter = 3, p-value = 0.1

結論:
シーケンスは、最初の差分以降は著しく定常的です。KPSS
検定の p 値は 0.05 より大きく、帰無仮説は棄却できません。つまり、シーケンスは最初の差分の下で定常的になる傾向があります。

4. 一次差分シーケンスに対して ACF および PACF 解析を実行して、ARMA モデルを決定します。

#ACF和PACF
par(mfrow = c(1,2))
acf(diff_ts, main = "ACF")
pacf(diff_ts, main = "PACF")

ここに画像の説明を挿入します
結論:
ACF はシーケンスに明らかな隣接ラグ自己相関があることを示し、PACF はシーケンスが短縮型自己回帰 (AR) 特性を持つことを示します。
したがって、p の値が 2 または 3 となる ARMA(p,0) モデルを選択できます。

1860 年から 1955 年までのミシガン湖の月平均最大水位の推移を以下の表に示します。
(1) 据え置きと判断された場合、その据え置きシリーズがARMAのどの機種であるかを判断してください。
(2) シーケンスが非定常であると判断された場合は、一次差分後のシーケンスの定常性と相関特性を調べてください。

1. データを時系列変数に変換し、視覚化します。

data <- read.table('./时间序列分析——基于R（第2版）习题数据/习题3.17数据.txt', header = TRUE, sep = "\t")
#将年份转换为时间序列类型
level <- ts(data$水位, start = c(1860), end = c(1955), frequency = 1)
#可视化
plot(level, type = "l", main = "1860-1955年密歇根湖每月平均水位变化",
     xlab = "年份", ylab = "水位")

ここに画像の説明を挿入します

2. 時系列に対して定常性テストを実行します。

library(tseries)
#进行ADF检验
adf.test(level)
## 
##  Augmented Dickey-Fuller Test
## 
## data:  level
## Dickey-Fuller = -2.3833, Lag order = 4, p-value = 0.4181
## alternative hypothesis: stationary
#进行KPSS检验
kpss.test(level)
## Warning in kpss.test(level): p-value smaller than printed p-value
## 
##  KPSS Test for Level Stationarity
## 
## data:  level
## KPSS Level = 1.3798, Truncation lag parameter = 3, p-value = 0.01

3. 一階差分演算を実行し、定常性テストを再度実行します。

diff_le <- diff(level)
#可视化
plot(diff_le, type = "l", main = "差分后的1860-1955年密歇根湖每月平均水位变化",
     xlab = "年份", ylab = "差分后的水位")

ここに画像の説明を挿入します

#进行ADF检验
adf.test(diff_le)
## Warning in adf.test(diff_le): p-value smaller than printed p-value
## 
##  Augmented Dickey-Fuller Test
## 
## data:  diff_le
## Dickey-Fuller = -5.6057, Lag order = 4, p-value = 0.01
## alternative hypothesis: stationary
#进行KPSS检验
kpss.test(diff_le)
## Warning in kpss.test(diff_le): p-value greater than printed p-value
## 
##  KPSS Test for Level Stationarity
## 
## data:  diff_le
## KPSS Level = 0.07181, Truncation lag parameter = 3, p-value = 0.1

4. 一次差分シーケンスに対して ACF および PACF 解析を実行して、ARMA モデルを決定します。

#ACF和PACF
par(mfrow = c(1,2))
acf(diff_le, main = "ACF")
pacf(diff_le, main = "PACF")

ここに画像の説明を挿入します

最初の差異後のシーケンスに対して ACF および PACF 解析を実行します。

ACF プロットは、lags=1 からゆっくりと減衰しており、AR(1) モデルがこのシーケンスに適している可能性があることを示しています。ただし、ラグが大きくなるにつれて、ACF はますます 0 に近づきます。これは、MA(1) モデルも適切である可能性があることを意味します。

PACF プロットはラグ = 1 で打ち切られており、AR(1) モデルが適切である可能性があることを示しています。ただし、lags=2 では、PACF は再び大幅に負になります。これは、シーケンスを説明するために MA(1) 項が必要である可能性があることを示しています。

ARMA(1,1) モデルがより適切なモデル特徴である可能性があることがわかります。