[ACWing] 7. 혼합 배낭 문제

제목 주소 :

https://www.acwing.com/problem/content/7/

NN 있음$N$ 개 항목과 1 개 용량은$V$ 의 배낭. 세 가지 유형의 항목이 있습니다. 첫 번째 항목은1개만 사용할 수 있습니다.$1$ 회 ($0-1\; 개$ ) 배낭, 상품의 제 2 유형에는 제한 시간 (전체 배낭)를 사용할 수 있으며 상품의 세번째 유형은 기껏해야 사용할 수${에스}_{나는}$Times (여러 배낭), 각 볼륨은 $V_{나는}$, 값은 $w_{나는}$. 배낭에 어떤 아이템이 적재되었는지 확인하여 아이템의 총 부피가 배낭의 용량을 초과하지 않고 총 값이 가장 큽니다. 최대 값을 출력합니다.

입력 형식 :
첫 번째 줄에 두 개의 정수, $N$ ,VV공백으로 구분 된$V$ 는 각각 물체의 수와 배낭의 부피를 나타냅니다. 다음은$N$ 라인, 라인 당 3 개의 정수$V_{나는},w_{나는},{에스}_{나는}$, 공백으로 구분하여 각각 ii품목의 양, 가치 및 수량$i$ . ${에스}_{나는}=-1$ 은ii를의미합니다.$유형\; I$ 항목 만 사용할 수 있습니다$1$ 차;${에스}_{나는}=0$ 은ii를의미합니다.유형$i$ 항목은 무제한으로 사용할 수 있습니다.${에스}_{나는}>0$ 은ii를의미합니다.$i$ 유형의 항목은si s_i를사용할 수 있습니다.${에스}_{나는}$타임스

출력 형식 :
최대 값을 나타내는 정수를 출력합니다.

데이터 범위 :
$0<N,V\le 1000$
$0<V_{나는},w_{나는}\le 1000$
$-1\le s나는\le 1000$

아이디어는 여전히 동적 프로그래밍이고 상태 표현은 $f\left[i\right]\left[j\right]$ , 즉 전자$i$ 항목에서 선택하고 볼륨은jj를초과하지 않습니다$j$ 섹션ii에 따른 최대 값$i$ 항목의 범주를 선택하거나 선택하지 않습니다. 옵션${에스}_{나는}=-1$ ,0 − 1 0-1을사용할 수 있습니다.$0-1$ 백팩 재귀; for${에스}_{나는}=0$ , 전체 배낭에서 재귀 적으로 사용할 수 있습니다. for${에스}_{나는}>0$ , 여러 배낭을 사용하여 재귀 적으로 사용할 수 있지만 시간 초과를 방지하기 위해 여기에 바이너리 최적화를 추가해야합니다. 참조 :
1,$0-1$ 백팩 :https://blog.csdn.net/qq_46105170/article/details/113668186;
2. 전체 백팩 :https://blog.csdn.net/qq_46105170/article/details/113834289;
3. 다중 바이너리 최적화 백팩 버전 :https://blog.csdn.net/qq_46105170/article/details/113840962.

코드 쇼 :

#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 1010;
int n, m;
int f[N];

int main() {
    
    
    cin >> n >> m;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
    
    
        int v, w, s;
        cin >> v >> w >> s;
        if (s == 0) 
            for (int j = v; j <= m; j++)
                f[j] = max(f[j], f[j - v] + w);
        else {
    
    
        	// 0-1背包问题可以看成是物品只有1个的多重背包问题
            if (s == -1) s = 1;
            // 二进制优化
            for (int k = 1; k <= s; k *= 2) {
    
    
                for (int j = m; j >= k * v; j--) 
                    f[j] = max(f[j], f[j - k * v] + k * w);
                s -= k;
            }

            if (s)
                for (int j = m; j >= s * v; j--)
                    f[j] = max(f[j], f[j - s * v] + s * w);
        }
    }    

    cout << f[m] << endl;

    return 0;
}

시간 복잡도 $O\left(V\right((N-k)+{\sum }_{나는=1}^{케이}싸다g{에스}_{나는}\left)\right)$ , 어디$k$ 는si s_i를사용할 수 있습니다.${에스}_{나는}$항목 유형 수 (즉, 이진으로 최적화 할 항목 유형 수), 공백 $O\left(V\right)$。