[복잡한 함수 참고 사항] 푸리에 변환 및 라플라스 변환

1. 푸리에 변환과 라플라스 변환의 정의

1. 푸리에 적분

푸리에 적분 정리 If $f\left(t\right)$ at$(-\infty ,+\infty )$ 는 다음 조건을 만족합니다.
(1)$f\left(t\right)$ 는 임의의 유한 구간에서 Dirichlet 조건을 충족합니다(연속적이거나 제한된 수의 첫 번째 유형의 불연속 점, 제한된 수의 극단 점만). ( 2)
f(t ) f(t)무한 구간( − ∞ , + ∞ ) (-\infty,+\infty)$에서\; f$$($$t$$)$$(-\infty ,+\infty )$ 는 절대적으로 통합 가능합니다(즉, 적분${\int }_{-\infty }^{+}|f(t)|dt$ 식),$$에프\left(티\right)=\frac{}{오후\; 2시}{\int }_{-\infty }^{+}\left[{\int }_{-\infty }^{+}에프\left(\tau \right){전자}^{-i\omega \tau }d\tau \right]{이자형}^{i\omega t}d\omega$$왼쪽에$f\left(t\right)$ 는 불연속점에서$\frac{에프(t+0)+에프(t-0}{2}$(왼쪽 및 오른쪽 극단 평균값) 대신.

2. 푸리에 변환

푸리에 변환 : if $f\left(t\right)$ at$(-\infty ,+\infty )$ 푸리에 적분의 조건을 만족하면 함수$$에프\left(\omega \right)=에프\left[에프\right(티)]={\int }_{-\infty }^{+}에프\left(티\right){전자}^{-i\omega t}dt$$는$f\left(t\right)$ 의 푸리에 변환 및 함수$$에프\left(티\right)={에프}^{-1}\left[F\right(\omega )]=\frac{}{오후\; 2시}{\int }_{-\infty }^{+}F\left(\omega \right)e^{i\omega t}d\omega \phi F$$($F\left(\omega \right)$ 의 푸리에 역변환

3. 단위충격함수와 단위계단함수

단위 임펄스 함수 : $$디\left(티\right)=\{\begin{array}{ll}+\infty ,& 티=0\\ 0& 티\ne \end{array}$$이는 부정확한 설명이며 엄격한 설명에는 약한 제한을 사용해야 합니다. 이 함수는 $${\int }_{-\infty }^{+}\delta \left(t\right)dt\_=1$$ f(t) f(t)인 경우$f\left(t\right)$ 는 무한 미분 가능 함수이고,$${\int }_{-\infty }^{+}\delta \left(티\right)에프\left(티\right)디티\_=f\left(0\right)$$$\delta \left(t\right)$ 는 δ ( at ) = 1 ∣ a ∣ δ ( t ) \delta(at)=\frac{1}{|a|}\delta(t)를 만족하는 짝수 함수입니다.$\delta \left(t\right)\_=\frac{}{||\_}\delta \left(t\right)$（$ㅏ\ne 0$），且$${\int }_{-\infty }^{+}{디}^{\left(엔\right)}(티-{티}_{})에프\left(티\right)디티\_={(-1)}^{엔}{에프}^{\left(엔\right)}\left({티}_{}\right)$$ (이는 부품별 통합으로 증명됨). 특히,$${\int }_{-\infty }^{+}{디}^{\prime }\left(티\right)에프\left(티\right)디티=-{에프}^{\prime }\left(0\right)$$

단위 단계 함수 : $$유\left(티\right)=\{\begin{array}{ll}1,& 티>0\\ 0& 티<\end{array}$$成动$$\begin{gathered} {\int }_{-\infty }^{}d\left(t\right)dt\_=유\left(티\right) \\ \frac{}{디티\_}유\left(티\right)=디\left(티\right) \end{gathered}$$

4. 라플라스 변환

라플라스 변환 : 함수 $f\left(t\right)$ 재$티\ge 0$ 이 정의되고 적분${\int }_0^{+}에프\left(티\right){전자}^{-st}dt$복소 평면$s$ 의 특정 영역에서 수렴$$에프\left(들\right)=L\left[에프\right(티)]={\int }_0^{+}에프\left(티\right){전자}^{-st}dt$$는$f\left(t\right)$ 의 라플라스 변환(또는 이미지 함수)을$f\left(t\right)$ 는$f\left(t\right)$ = L − 1 [ F ( s ) ] f(t)=\mathscr{L}^{-1 }[ F$$에프\left(티\right)={엘}^{-1}\left[F\right(s)]$$젊은령$에스=비+i\omega$，则$L\left[에프\right(티)]=에프\left[에프\right(티\left)유\right(티\left){에프}^{-\beta t}\right]$. 이것이 라플라스 변환과 푸리에 변환의 관계입니다.

라플라스 변환의 존재 정리 함수 f $f\left(t\right)$ 는 다음 조건을 충족합니다.
(1) At$티\ge 0$ 임의의 유한 간격에서 연속 또는 조각 연속,
(2)$티\to +\infty$ ,$f\left(t\right)$ 의 성장 속도는 특정 지수 함수를 초과하지 않습니다. 즉,$중>0$和$씨\ge 0$使得$$|에프(티)|\le 나{\_}^{ct},\forall 티\in [0,+\infty )$$ f$f\left(t\right)$ F (s ) = ∫ 0 + ∞ f (t ) e − stdt F(s)=\int_0^{+\infty}f(t)e^{-st}\ mathrm{d의 라플라스변환$에프\left(들\right)={\int }_0^{+}에프\left(티\right){전자}^{-}$ 반평면Re ⁡ (s ) > c \operatorname{Re}(s)>c$에서$${}^s$${}^t$$dt$$\mathrm{다시}\left(들\right)>c$ 에 존재해야 하며 오른쪽 적분은$\mathrm{다시}\left(들\right)\ge {씨}_{}>c$ 와 Re ⁡ ( s ) > c \operatorname{Re}(s)>c절대적으로 수렴하고 균일하게 수렴합니다.$\mathrm{다시}\left(들\right)>c$ 의$F\left(s\right)$ 는 분석 함수입니다. $c$ 는 f(t) f(t)라고 합니다$f\left(t\right)$ 의 성장 지수 .

2. 공통 함수의 푸리에 변환 및 라플라스 변환

기본 함수 $에프\left(티\right)$	푸리에 변환	라플라스 변환
$1$	$2피디\left(오\right)\_$	-
$디\left(티\right)$	$1$	$1$
$유\left(티\right)$	$\frac{}{i\omega }+피디\left(오\right)\_$	$\frac{}{에스}$
${티}^N$	$2\pi 나는\_{}^{엔디}{\_}^{\left(엔\right)}\left(오\right)$	$\frac{C(엔+1}{{에스}^{(엔+1)}}(엔>-1)$ ($n$ 이 정수 이면$\frac{엔}{{에스}^{엔+1}}$）
$\mathrm{코사인}{오}_{}티$	$피\left[디\right(오+{오}_{})+디(오-{오}_{})]$	$\frac{}{{에스}^2+{오}_0^{}}$（요구 사항 ${오}_{}\in R$ )
$죄{오}_{}티$	$i\pi \left[d\right(o+{오}_{})-디(오-{오}_{})]$	$\frac{{오}_{}}{{에스}^2+{오}_0^{}}$（요구 사항 ${오}_{}\in R$ )
${이자형}^{-\beta t}u\left(t\right)$	$\frac{}{비+i\omega }(비>0)$	$\frac{}{에스+비}$

3. 푸리에 변환과 라플라스 변환의 성질

令$에프\left(\omega \right)=F\left[f\right(t)]$，$에프\left(들\right)=L\left[f\right(t)]$。

자연	푸리에 변환	라플라스 변환
선형 속성	$에프\left[에프{\_}_{}\right(티)+bf{\_}_{}(티)]=에프[에프\_{}_{}(티)]+b에프\left[{에프}_{}\right(티)]$	$패\left[에프{\_}_{}\right(티)+bf{\_}_{}(티)]=엘[에프\_{}_{}(티)]+b패\left[f_{}\right(티)]$
유사성	$에프\left[에프\right(에이\left)\right]=\frac{}{||\_}에프\left(\frac{}{ㅏ}\right)$	$L\left[에프\right(t\left)\right]=\frac{}{ㅏ}에프\left(\frac{}{ㅏ}\right)$（$ㅏ>0$ )
대칭 속성	$에프\left[에프\right(\omega )]=2\pi f(-티)\_\_$
미분 속성	$에프\left[{에프}^{\prime }\right(티)]=i\omega F\left[f\right(t)]$ $에프\left[{에프}^{\left(엔\right)}\right(티)]={\left(i\omega \right)}^{엔}에프\left[에프\right(티)]$	$엘\left[{에프}^{\prime }\right(티)]=에프\left(들\right)\_-f\left(0\right)$ $엘\left[{에프}^{\left(엔\right)}\right(티)]={에스}^{nF}\left(s\right)\_-{에스}^{엔-1}에프\left(0\right)-\cdots -{에프}^{(n-1)}\left(0\right)$
象函数的微分性质	$\mathcal{F}[tf(t)]=i{F}^{\prime }(\omega )$ $\mathcal{F}[t^{n}f(t)]=i^n{F}^{(n)}(\omega )$	$\mathcal{L}[tf(t)]=-F^{\prime }(s)$ $\mathcal{L}[t^{n}f(t)]={(-1)}^n{F}^{(n)}(s)$
位移性质	$\mathcal{F}[f(t+t_0)]=e^{i\omega t_0}\mathcal{F}[f(t)]$	$\mathcal{L}[f(t+t_0)]=e^{s{t}_0}\mathcal{L}[f(t)]$（要求$t_0<0$）
象函数的位移性质	$\mathcal{F}[e^{i{\omega }_{0}t}f(t)]=F(\omega -{\omega }_0)$	$\mathcal{L}[e^{at}f(t)]=F(s-a)$（要求$\mathrm{Re}(s-a)>s_0$，其中$s_0$是$f(t)$的增长指数）
积分性质	$\mathcal{F}\left[{\int }_{-\infty }^{t}f(\tau )\mathrm{d}\tau \right]=\frac{1}{i\omega }F(\omega )+\pi F(0)\delta (\omega )$	$\mathcal{L}[{\int }_0^{t}f(\tau )\mathrm{d}\tau ]=\frac{1}{s}F(s)$
象函数的积分性质		$\mathcal{L}\left[\frac{f(t)}{t}\right]={\int }_s^{\infty }F(s)\mathrm{d}s$
卷积定理	$\mathcal{F}[f_1(t)\ast f_2(t)]=\mathcal{F}[f_1(t)]\cdot \mathcal{F}[f_2(t)]$ $\mathcal{F}[f_1(t)\cdot f_2(t)]=\frac{1}{2\pi }\mathcal{F}[f_1(t)]\ast \mathcal{F}[f_2(t)]$	$\mathcal{L}[f_1(t)\ast f_2(t)]=\mathcal{L}[f_1(t)]\cdot \mathcal{L}[f_2(t)]$
乘积定理	令$F_1(\omega )=\mathcal{F}[f_1(t)]$，$F_2(\omega )=\mathcal{F}[f_2(t)]$，则 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }\overline{f_1(t)}{f}_2(t)\mathrm{d}t=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\overline{F_1(\omega )}{F}_2(\omega )\mathrm{d}\omega$ ${\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_1(t)\overline{f_2(t)}\mathrm{d}t=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{F}_1(\omega )\overline{F_2(\omega )}\mathrm{d}\omega$
能量积分	帕西瓦尔等式： ${\int }_{-\infty }^{+\infty }{[f(t)]}^2\mathrm{d}t=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{|F(\omega )|}^2\mathrm{d}\omega$
初值定理		$f(0)=\underset{s\to \infty }{\lim }sF(s)$（若这个极限存在）
终值定理		$\underset{t\to +\infty }{\lim }f(t)=\underset{s\to 0}{\lim }sF(s)$ （要求$sF(s)$的所有奇点都在$s$平面的左半部）

四、拉普拉斯逆变换

由于$F(s)=\mathcal{L}[f(t)]=\mathcal{F}[f(t)u(t)e^{-\beta t}]$（$s=\beta +i\omega$），我们有$$\begin{gathered} \frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }F(\beta +i\omega )e^{i\omega t}\mathrm{d}\omega =f(t)u(t)e^{-\beta t} \\ f(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }F(\beta +i\omega )e^{(\beta +i\omega )t}\mathrm{d}\omega \end{gathered}$$注意到$\mathrm{d}s=i\mathrm{d}\omega$，我们把积分写出复变函数的积分：$$f(t)=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\beta -i\infty }^{\beta +i\infty }F(s)e^{st}\mathrm{d}s$$下面我们通过留数来计算这个积分。

定理 设$s_1,s_2,\cdots ,s_l$是$F(s)$的所有孤立奇点（有限个），除这些点外，$F(s)$处处解析。且存在$R_0>0$，使得当$|s|>R_0$时，$|F(s)|\le M(r)$，其中$M(r)$是$r$的实函数，满足$\underset{r\to +\infty }{\lim }M(r)=0$（即当$s\to \infty$时，$F(s)\to 0$）。选取$\beta$，使所有孤立奇点的实部都小于$\beta$，则当$t>0$时，$$f(t)=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\beta -i\infty }^{\beta +i\infty }F(s)e^{st}\mathrm{d}s=\sum _{k=1}^l\mathrm{Res}[F(s)e^{st},s_k]$$