방법 1
고급 수학에서는 매개변수 방정식을 사용하지 않고 도함수를 사용하여 곡선의 호 길이를 찾을 수 있습니다. 이 방법을 호 길이 미분이라고 합니다.
방정식이 y = f(x) 인 곡선이 있고 곡선의 두 점 A(x1, y1)과 B(x2, y2) 사이의 호 길이를 원한다고 가정합니다.
먼저 곡선의 두 점 A와 B를 각각 x1과 x2로 표시한 다음 이 두 점 사이의 곡선의 호 길이 차이 ds를 계산합니다.
피타고라스의 정리에 따르면 ds의 표현을 얻을 수 있습니다.
ds = √(dx^2 + 다이^2)
여기서 dx = x2 - x1, dy = f(x2) - f(x1).
그런 다음 미분의 정의를 사용하여 dy를 근사화할 수 있습니다.
dy = f'(x) * dx
dy에 대한 표현식을 ds에 대한 표현식으로 대체하면 다음이 생성됩니다.
ds = √(dx^2 + (f'(x) * dx)^2)
더 단순화하면 다음을 얻습니다.
ds = √(1 + (f'(x))^2) * dx
이제 ds를 통합하여 곡선의 호 길이를 계산할 수 있습니다. 곡선의 모든 점 x에 대해 호 길이를 다음과 같이 표현할 수 있습니다.
L = ∫[x1,x2] √(1 + (f'(x))^2) dx (이 공식을 보세요)
이 적분을 풀면 곡선의 두 점 A와 B 사이의 호 길이 L을 찾을 수 있습니다.
이 방법은 곡선이 연속적으로 미분 가능한 경우에만 적용할 수 있다는 점에 유의해야 합니다. 곡선에 불연속점이나 미분할 수 없는 점이 있는 경우 호 길이를 계산하는 다른 방법을 고려해야 합니다.
방법 2
고급 수학에서는 도함수를 사용하여 곡선의 호 길이를 찾을 수 있습니다. 구체적인 단계는 다음과 같습니다.
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파라메트릭 방정식 으로 표현 될 수 있는 곡선이 있다고 가정합니다 . x = f(t), y = g(t), 여기서 t는 특정 간격에 속합니다.
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먼저 곡선에 대한 탄젠트 벡터를 찾습니다: r'(t) = (f'(t), g'(t)).
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접선 벡터의 계수를 계산합니다: |r'(t)| = sqrt((f'(t))^2 + (g'(t))^2).
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호 길이 함수 정의: s(t) = ∫[a, t] |r'(t)| dt , 여기서 a는 곡선의 한 점에서의 매개변수 값입니다.
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호 길이 함수 s(t)를 유도함으로써 곡선의 호 길이 함수의 미분을 얻을 수 있습니다: ds/dt = |r'(t)|.
위의 단계를 통해 미분을 사용하여 곡선의 호 길이 함수의 미분을 찾을 수 있으므로 곡선의 호 길이를 찾을 수 있습니다.