파트 I 소개
이 블로그 게시물은 제곱 또는 더 높은 거듭제곱과 관련된 수학에서 일반적으로 사용되는 몇 가지 공식을 기록합니다.
제1장 결론
다음 섹션에서는 몇 가지 중요한 결론을 요약합니다.
- 완전제곱식 공식: ( a ± b ) 2 = a 2 ± 2 ab + b 2 (a±b)^2=a^2±2ab+b^2( _±나 )2=ㅏ2±2ab _+비2
- 제곱 차이 공식: a 2 − b 2 = ( a + b ) ( a − b ) a^2-b^2=(a+b)(ab)ㅏ2-비2=( _+b ) ( _-나 )
- 삼차 공식: ( a ± b ) 3 = a 3 ± 3 a 2 b + 3 ab 2 ± b 3 (a±b)^3=a^3±3a^2b+3ab^2±b^3( _±나 )삼=ㅏ삼±3 시2b _+3 시 _2±비삼
- 3차 방화식 공식: a 3 + b 3 = ( a + b ) ( a 2 − ab + b 2 ) a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)ㅏ삼+비삼=( _+b ) ( _2-ab+비2 )
- 삼차 분산 공식: a 3 − b 3 = ( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 ) a^3-b^3=(ab)(a^2+ab+b^2)ㅏ삼-비삼=( _-b ) ( _2+ab+비2 )
- 세제곱의 합 빼기 세 수의 곱: a 3 + b 3 + c 3 − 3 abc = ( a + b + c ) ( a 2 + b 2 + c 2 − ab − bc − ac ) a^3+b^ 3 +c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)ㅏ삼+비삼+씨삼-3abc _ _=( _+비+씨 ) ( _2+비2+씨2-ab-기원전 _-c ) _
- 이항 정리: ( a + b ) n = C n 0 an + C n 1 a (n − 1 ) b + ⋯ + C nka (n − k ) bk + ⋯ + C nnbn (a+b)^n =C ^0_na^n+C^1_na^{(n-1)}b+\cdots+C^k_na^{(nk)}b^k+\cdots+C^n_nb^n( _+나 )N=씨N0ㅏN+씨N1ㅏ( n - 1 ) b+⋯+씨N케이ㅏ( n - k ) b케이+⋯+씨N엔비N
Part.II 두 항의 n제곱
Chap.I와 차이 n승(이항 정리)
( a + b ) 2 = a 2 + ab + ba + b 2 = a 2 + 2 ab + b 2 (a+b)^2=a^2+ab+ba+b^2=a^2+2ab +b^2( _+나 )2=ㅏ2+ab+바+비2=ㅏ2+2ab _+비2 이 완전한 제곱 공식은 모두에게 익숙할 것입니다. 하지만 연장하고 싶습니다:nnn 용어 및nnn 번째 거듭제곱을 나타내는 방법은 무엇입니까?
서로 다른 두 항목의 nn을 살펴보겠습니다.n 다음:( a + b ) n (a+b)^n( _+나 )n , 이 확장 항에는 기성 공식, 즉 이항 정리가 있습니다!
( a + b ) n = Cn 0 an + Cn 1 a (n − 1 ) b + ⋯ + Cnka (n − k ) bk + ⋯ + C nnbn (a+b)^n=C^0_na^ n+C^1_na^{(n-1)}b+\cdots+C^k_na^{(nk)}b^k+\cdots+C^n_nb^n( _+나 )N=씨N0ㅏN+씨N1ㅏ( n - 1 ) b+⋯+씨N케이ㅏ( n - k ) b케이+⋯+씨N엔비N
- 이항 계수: C nk ( k = 0 , ⋯ , n ) C^k_n\ (k=0,\cdots,n)씨N케이 ( k=0 ,⋯,엔 )
- 이항 일반 공식: C nka (n − k ) bk C^k_na^{(nk)}b^k씨N케이ㅏ( n - k ) bk 는 확장에서+ 1 k+1케이+1 항, 일반 공식은 다음과 같이 작성할 수 있습니다.T k + 1 = C nka ( n − k ) bk T_{k+1}=C^k_na^{(nk)}b^k티케이 + 1=씨N케이ㅏ( n - k ) b케이
제II장 n승의 합과 차
n차방차유차 공식:
an − bn = ( a − b ) ( an − 1 + an − 2 b + an − 3 b 3 + ⋯ + abn − 2 + bn − 1 ) a^nb^n=(ab )(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^3+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1})ㅏN-비N=( _-b ) ( _n - 1+ㅏn - 2b _+ㅏn - 3b _삼+⋯+a bn - 2+비엔 - 1 )
n번째 거듭제곱의 합 공식입니다. n이 홀수일 때
an + bn = ( a + b ) ( an − 1 − an − 2 b + an − 3 b 3 + ⋯ − abn − 2 + bn − 1 ) a^n+b^n=( a +b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^3+\cdots-ab^{n-2}+b^{n-1 } )ㅏN+비N=( _+b ) ( _n - 1-ㅏn - 2b _+ㅏn - 3b _삼+⋯-a bn - 2+비n − 1 )
n이 짝수일 때 n번째 거듭제곱 공식은 존재하지 않으며, 실제로 n이 짝수일 때
an − bn = ( a + b ) ( an − 1 − an − 2 b + 안 − 3 b 3 + ⋯ − abn − 2 + bn − 1 ) a^nb^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n- 3}b^3+\ cdots-ab^{n-2}+b^{n-1})ㅏN-비N=( _+b ) ( _n - 1-ㅏn - 2b _+ㅏn - 3b _삼+⋯-a bn - 2+비엔 - 1 )
즉, n이 짝수일 때 an − bna^nb^nㅏN-비n 에 대한 표현은 두 가지가 있는데 , n이 홀수인 경우에만 n승의 합에 대한 공식이 있습니다.
Part.III n개 항의 제곱
n을 고려하다n 개의 서로 다른 항의 제곱:( a + b + c + ⋯ ) 2 = ? (a+b+c+\cdots)^2=?( _+비+씨+⋯)2=?
여기서 우리는 확장 후 각 항목의 특정 내용에 대해 신경 쓰지 않습니다. 먼저 ( a + b ) 2 (a+b)^2 와 같이 확장할 수 있는 항목 수에 관심이 있습니다.( _+나 )2개 펼치고4개 4개4개 항목, 정렬 후3개 3개3 개 항목. 정렬 전후를 구분하는 이유는 무엇입니까? 특정 연산 규칙에 따라 곱셈에는 행렬 곱셈과 같은 교환 법칙이 없기 때문입니다. 아래에 표가 나와 있습니다.
| 다른 항목의 수 | 펼치기 전에 | 퍼지는 |
|---|---|---|
| 2 | 4 | 삼 |
| 삼 | 9 | 6 |
| 4 | 16 | 10 |
| 5 | 25 | 15 |
| … | ||
| nnN | n2n^2N2 | C n 2 + n C^2_n+n씨N2+N |
Part.IV 하나의 변수에서 더 높은 차수 방정식 풀기
1장 1차 및 2차
한 변수의 선형 방정식 (한 변수의 선형 방정식이라고도 함)
a 1 x + x 0 = 0 ( a 1 ≠ 0 ) a_1x+x_0=0\ (a_1\neq 0)ㅏ1엑스+엑스0=0 ( _ 1=0 ) 해방x = - a 0 / a 1 x = -a_0 / a_1엑스=- _0/ 아1
단항 이차방정식
ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) ax^2+bx+c=0 (a\neq 0)엑스 _2+bx _+씨=0 ( _=0 ) 해는x = − b ± b 2 − 4 ac 2 ax=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}엑스=2a_ _− b ±비2 -4시_..
판별식: Δ = b 2 − 4 ac \Delta=b^2-4ac디=비2-기원전 4 년 _
- Δ > 0 \Delta>0디>0 : 방정식에 두 개의 다른 실근이 있습니다.
- Δ = 0 \Delta=0디=0 : 방정식에 두 개의 동일한 실근이 있습니다.
- Δ < 0 \Delta<0디<0 : 방정식에 두 개의 다른 허수가 있습니다.
베다의 정리: x 1 , x 2 x_1,x_2엑스1,엑스2방정식의 두 근
- x 1 + x 2 = − ba x_1+x_2=-\frac{b}{a}엑스1+엑스2=-ㅏㄴ
- x 1 ⋅ x 2 = ca x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}엑스1⋅엑스2=ㅏ씨
제II장 단항 삼차 방정식
ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 ( a ≠ 0 ) ax^3+bx^2+cx+d=0 (a\neq 0)엑스 _삼+bx _2+cx _+디=0 ( _=0 )
일반적으로 사용되는 솔루션은 1545년 이탈리아 학자 카르단이 발표한 카르단 공식 방법입니다.
특별한 형태의 근 찾기 공식 x 3 + px 2 + q = 0 x^3+px^2+q=0엑스삼+피 엑스2+큐=0
일반적인 형태의 카르단 방법의 근 찾기 공식
ps: Baidu Encyclopedia에서 가져온 것이며 구체적인 파생어는 나중에 논의됩니다.
Chap.III 하나의 변수에서 4차 방정식
ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0 ( a ≠ 0 ) ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0 (a\neq 0)엑스 _4+bx _삼+cx _2+디 엑스+이자형=0 ( _=0 )
하나의 변수에서 이차방정식의 근을 찾는 공식은 이탈리아의 수학자 페라리가 처음으로 증명했습니다. 1차원 3차방정식은 요소를 영리하게 교환한 후 문제를 1차원 2차방정식으로 줄임으로써 해결됩니다. 따라서 1차원 4차방정식을 1차원 3차방정식이나 1차원 2차방정식으로 교묘하게 변환할 수 있다면 이미 알려진 공식을 이용하여 풀 수 있다.
추신: 공식이 상대적으로 깁니다. 자세한 내용은 Baidu 백과사전을 참조하세요.