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PCA(Principal Component Analysis)는 데이터의 특징 추출 및 데이터 시각화를 위해 일반적으로 사용되는 차원 감소 기술입니다. 이 글은 데이터의 공분산행렬 계산부터 고유벡터 선택까지 PCA의 원리를 깊이 있게 분석하고 PCA의 작동원리와 응용에 대해 충분히 이해할 것이다.
1. PCA 알고리즘 개요
PCA는 가능한 한 많은 정보를 보존하면서 고차원 데이터를 저차원 데이터로 변환하는 데 사용되는 비지도 학습 알고리즘입니다. PCA의 주요 아이디어는 데이터의 분산에 따라 좌표축이 정렬되는 선형 변환을 통해 원본 데이터를 새로운 좌표계로 매핑하는 것입니다.
2. 데이터 전처리
PCA를 적용하기 전에 데이터의 평균이 0이 되도록 데이터를 전처리해야 합니다. 이는 각 기능의 평균을 빼서 수행할 수 있습니다. 전처리된 데이터는 공분산 행렬을 정확하게 계산하는 데 도움이 됩니다.
3. 공분산 행렬의 계산
PCA의 핵심은 데이터의 공분산 행렬을 계산하는 것입니다. 공분산 행렬은 데이터 기능 간의 상관 관계를 설명합니다. m개의 특징이 있는 n개의 샘플 데이터 세트의 경우 공분산 행렬의 차원은 m × m입니다. 공분산 행렬의 요소는 서로 다른 기능 간의 공분산을 나타냅니다.
4. 고유값과 고유벡터
공분산 행렬에 대한 고유값 분해를 수행하여 고유값과 해당 고유벡터를 얻을 수 있습니다. 고유 값은 고유 벡터 방향으로 데이터의 분산을 나타냅니다. 고유 벡터는 새 좌표계에서 데이터의 기본 방향을 나타냅니다.
5. 주성분 선택
주성분을 선택하는 방법은 고유값의 크기를 기준으로 정렬하는 것입니다. 고유값이 더 큰 해당 고유벡터는 데이터에 포함된 가장 큰 분산을 나타냅니다. 일반적으로 우리는 더 큰 고유값을 가진 상위 k 고유 벡터를 주성분으로 선택합니다.
6. 데이터 프로젝션
데이터를 주성분으로 구성된 새로운 공간에 매핑하여 차원 축소를 달성할 수 있습니다. 데이터 프로젝션은 선택한 주성분으로 원시 데이터를 내적 생산함으로써 달성됩니다. 투영된 데이터는 차원이 더 낮지만 원래 데이터에서 가능한 한 많은 정보를 유지합니다.
7. PCA의 장점과 단점
PCA 알고리즘의 장점:
- 데이터 차원 축소 및 중복 정보 제거
- 후속 데이터 분석 및 시각화를 용이하게 하기 위해 데이터에서 주요 기능을 추출합니다.
- 데이터 저장 및 계산 비용 절감
PCA 알고리즘의 단점:
- 주성분 계산에 더 큰 영향을 미칠 수 있는 이상치에 민감
- PCA는 선형 방법이며 비선형 관계가 있는 데이터에는 적합하지 않을 수 있습니다.
8. PCA 알고리즘 적용
from sklearn.datasets import load_iris
from sklearn.decomposition import PCA
# 加载数据集
iris = load_iris()
X = iris.data
# 创建PCA模型
pca = PCA(n_components=2)
# 应用PCA模型
X_pca = pca.fit_transform(X)
# 打印降维后的数据
print(X_pca)
코드에서 클래식 홍채 데이터 세트(Iris)를 먼저 로드하고 PCA 모델을 생성하고 차원 축소 후 차원을 2로 지정합니다. 원본 데이터에 PCA 모델을 적용하고 차원 축소된 데이터를 얻습니다. 마지막으로 축소된 데이터를 출력합니다.