에세이 강의 | 양자컴퓨팅 2차원 등각 텐서 네트워크 상태

오픈소스 중국 커뮤니티 팀이 공유라는 이름으로 오픈소스 중국 커뮤니티의 뒷이야기를 전하는 첫 생방송을 진행했습니다."

공유자: Wu Shaojun ｜학교**: 중국 전자과기대학교**

간략한 소개

양자 다체 시스템을 시뮬레이션할 때 복잡성이 기하급수적으로 증가하는 것을 극복하는 것은 물리학의 어려운 목표입니다. 현재 1차원 양자 시스템의 바닥 상태 특성에 대해 텐서 네트워크 상태(TNS)를 기반으로 하는 방법은 기본적으로 정확한 수치 솔루션을 제공하는 효과적인 방법을 제공하고 있습니다. 2차원 시스템에서는 다양한 격자 모델에 대해 TNS를 최적화하는 일부 알고리즘을 도입하여 일부 진전도 이루어졌습니다. 이번에는 2차원 시스템의 양자 상태를 설명하는 데 사용할 수 있고 계산상의 장점이 있는 새로운 양자 상태 표현 방법인 아이소메트릭 TNS를 소개합니다. 또한 로컬 측정을 사용하는 방법도 소개합니다. 양자 상태를 재구성합니다. 선형적인 연산 수만 갖는 MPS를 구성하는 방법입니다.

관련 논문 1

**제목: 2차원의 등각 텐서 네트워크 상태
작성자: Michael P. Zaletel 및 Frank Pollmann
저널: **Phys. Rev. Lett.

**게시 날짜:** 2020년 1월 24일

관련 논문 2

**제공: 효율적인 양자 상태 단층 촬영
제공: Marcus Cramer, Martin B. Plenio, Steven T. Flammia, Rolando Somma, David Gross, Stephen D. Bartlett, Olivier Landon-Cardinal, David Poulin & Yi-Kai Liu
:** Nature 커뮤니케이션 1, 149(2010)

**게시일:** 2010년 12월 21일

** 소개
**

(이미지 출처: Nature 618권, 500~505페이지(2023))

최근 IBM은 127개의 양자 프로세서에서 2차원 횡단 필드 Ising 모델의 시뮬레이션을 구현했습니다. 비교를 위해 정확한 결과를 얻으려면 고전적인 시뮬레이션을 사용해야 합니다. 본 연구에서는 가중치-1, 가중치-10, 가중치-17 관측을 이용하여 5단계 족보의 양자회로를 측정하였으며, 실험 결과를 그림에 나타내었다.

정확한 솔루션을 얻기 위해 고전적인 시뮬레이션을 수행할 때 여기서는 LCDR(Light-cone and Depth-Reduced) 방법이 사용됩니다. 두 부분으로 나누어진다. 첫 번째 부분은 양자 게이트 간의 특성을 통해 시뮬레이션해야 하는 회로 레이어 수를 줄이는 것이고, 다른 부분은 관찰량 A와 관련된 큐비트가 로컬이라는 것을 고려하는 것이다. 그러면 Evolution은 127비트 전체가 아닌 최종 관찰 결과를 계산할 수 있습니다. 가중치-1, 가중치-10 및 가중치-17 관측치의 관련 큐비트 수는 각각 31, 37 및 68입니다. 68큐비트를 사용한 시뮬레이션은 여전히 기존 컴퓨터의 무차별 대입 시뮬레이션 기능을 넘어선다는 점은 주목할 가치가 있습니다. 따라서 이 연구에서는 시뮬레이션을 위해 텐서 네트워크, 1D 매트릭스 곱 상태(MPS) 및 2D 등각 텐서 네트워크 상태(iso TNS)를 도입합니다.

** 매트릭스 제품 상태(MPS) 소개
**

1. 텐서에 대한 기본 지식

(1) 정의 및 그래픽 표현

(2) 동일지표의 축소

2, MPS

N개의 그리드 점이 있는 1차원 시스템의 경우, 각 그리드 점이 d개의 양자 상태를 갖는 경우 다물체 힐베르트 공간은 그리드 힐베르트 공간의 텐서 곱으로 표현될 수 있습니다.

해당 임의의 다중 자세는 다음과 같이 표현될 수 있습니다.

(이미지 출처: arXir:1603.03039, 2016)

MPS(Matrix Product State)의 핵심 아이디어는 다체 상태를 다음과 같이 표현하는 것입니다.

(이미지 출처: arXir:1603.03039, 2016)

각 단위는 3차 텐서로, 물리적 인덱스는 그리드 포인트 양자 상태이고, 보조 인덱스는 왼쪽 및 오른쪽 시스템 사이의 양자 얽힘으로 간주할 수 있습니다.

SVD 분해:

일반적인 복소 행렬 A의 경우 다음과 같은 분해가 있습니다 .

는 차원이 있는 대각 행렬이고, 대각선의 요소를 특이값이라고 합니다. 일반적으로 특이값은 대각선을 따라 가장 큰 것부터 가장 작은 것 순으로 배열됩니다.

(이미지 출처: arXir:1603.03039, 2016)

여기서 S는 특이값을 나타냅니다. 시스템의 두 부분 사이의 얽힘이 강하지 않으면 특이값의 스펙트럼이 빠르게 붕괴되는 경향이 있으며 행렬의 대부분의 정보를 유지하려면 더 적은 수의 특이값만 유지하면 됩니다. 슈미트 분해의 각 그룹이 m개 이하의 특이값을 유지한다고 규정한다고 가정해 보겠습니다. 결국 이 다중 물체 상태를 대략적으로 표현하려면 실수만 필요합니다. 1개의 매개변수가 필요한 원래 표현 방법과 비교하면 이 표현은 그리드 포인트 수에 대해 선형 공간 복잡도를 가지며 원래 텐서 곱 표현의 지수적 증가 복잡도보다 효율성이 훨씬 높습니다.

(이미지 출처: arXir:1603.03039, 2016)

MPS를 얻는 과정:

(이미지 출처: arXir:1603.03039, 2016)

왜냐하면:

상태와 같은 다체 연산자의 경우 MPO(행렬 곱 형식)로 다체 연산자를 작성할 수 있습니다.

상태와 달리 로컬 연산자로 구성된 해밀턴은 자연스럽게 행렬 곱의 형태로 작성될 수 있습니다.

(이미지 출처: arXir:1603.03039, 2016)

매트릭스 제품 연산자는 매트릭스 제품 상태에 대해 작업을 수행한 후에도 여전히 매트릭스 제품 구조를 유지합니다.

(이미지 출처: arXir:1603.03039, 2016)

2차원의 아이소메트릭 텐서 네트워크 상태

1. 초록

텐서 네트워크 상태는 2차원 양자 다체 문제를 위한 유망하지만 수치적으로 어려운 도구입니다. 이 기사에서 저자는 텐서 네트워크를 효율적으로 축소할 수 있는 형식인 등각적으로 제한된 TNS ansatz를 소개합니다. Ansatz를 수치적으로 벤치마킹하기 위해 저자는 먼저 2차원 횡장 Ising 모델의 바닥 상태에 대한 MPS 표현이 isoTNS로 효과적으로 변환될 수 있음을 입증했습니다. 실제로 저자는 2D TEBD 알고리즘을 구현하여 효과적으로 이를 보여주었습니다. 2D 모델의 바닥 상태에 대한 근사치를 isoTNS 형식으로 찾습니다.

2. 아이소메트릭 텐서 네트워크 상태

1) 아이소메트리 조건: 차원 행렬 M의 경우, 또는

. 텐서 다이어그램에서 화살표는 일반적으로 직교성을 나타내는 데 사용되는데, 이는 텐서와 그 공액 텐서의 내부 인덱스를 축소하여 단위 행렬을 얻음을 규정합니다.

2) MPS의 정식 형식:

그 중 A와 B는 왼쪽과 오른쪽 직교 조건을 만족합니다. 왼쪽 직교 조건은 이전 양자의 수축과 자신의 전치가 단위 행렬임을 의미하고, 오른쪽 직교 조건은 다음 양자의 수축과 자신의 전치가 단위 행렬로서 감소하는 요소를 의미함을 의미합니다. 대각행렬은 직교중심(Orthogonal Center)이라고도 합니다.

3) 아이소메트리 조건에 따라 외부 AB 텐서가 1로 줄어들기 때문에 로컬 연산의 기대값은 다음과 같이 직접 얻을 수 있습니다 .

(이미지 출처: Phys. Rev. Lett. 124, 037201)

두 가지 차원으로 일반화합니다.

위 공식과 유사하게, TNS의 각 행과 열은 아이소메트리이어야 합니다. 이 제약 조건은 각 텐서가 아이소메트리를 요구함으로써 더욱 필요할 수 있습니다. 위 그림 d에서 볼 수 있듯이 빨간색 부분에는 안쪽 화살표만 있으므로 이는 TNS의 1차원 "직교 초곡면"이며 표준 직교 기준 하의 파동 함수이므로 MPS와 같이 처리할 수 있습니다. 는 그 자체로 1차원 표준 형식으로 들어갈 수 있습니다(직교 중심은 1차원 표준 알고리즘을 사용하여 자유롭게 이동할 수 있음). 즉 , 추가 근사 없이 표준 MPS 알고리즘으로 효율적으로 계산할 수 있는 1차원 기대값의 차원 감소가 있습니다. 이는 예상 값이 전체 네트워크의 대략적인 축소를 사용해야 하는 일반 TNS와 뚜렷한 대조를 이룹니다.

3. 직교 초곡면 이동

중앙 직교 형태는 직교 초곡면 Lammda가 네트워크 전체에서 효율적으로 이동할 수 있는 경우에만 계산상 유용합니다. 1차원에서는 직교 행렬의 분해(QR 또는 SVD)를 통해 직교 중심의 이동을 달성할 수 있습니다. 2차원에서는 전체 열을 이동 해야 합니다 . 그러나 2차원 시스템의 경우 직교 행렬 분해 방법은 MPS로 표현하는 데 필요한 지역성을 파괴하므로 유효하지 않습니다.

(이미지 출처: Phys. Rev. Lett. 124, 037201)

이 글에서 저자는 모세 이동(Moses Move) 방법을 사용하여 직교 곡면의 중심을 이동합니다. 위 그림에서 볼 수 있듯이 MM 알고리즘 이후 직교 초곡면은 물리적 표시기가 없는 왼쪽 직교 상태와 제로 열 상태의 곱으로 나뉩니다 . 그 중 그림(b)에 보이는 '분할' 과정을 지속적으로 적용해 압축을 풀어낸다. 중심점 의 인덱스는 세 가지 상태로 그룹화 되고 두 단계에 걸쳐 세 개의 텐서로 "분할"됩니다.

4. isoNTS로 확장된 MPS

(이미지 출처: Phys. Rev. Lett. 124, 037201)

바닥 상태 파동 함수가 주어지면 저자는 isoTNS에 넣을 수 있는 반복 알고리즘을 제안하고 단일 횡단 필드 모델을 테스트했습니다. 스트립을 고려 하고 DMRG를 사용하여 1D MPS의 바닥 상태를 얻으십시오 . 여기서 각 "사이트"에는 해당 스핀 행이 포함되어 있습니다[그림 (a)]. 그림 a의 세 번째 패널에 표시된 것처럼 MM을 사용하여 파동 함수의 열을 반복적으로 "분할" 하여 isoTNS를 생성할 수 있습니다. 이 예에서 결합 치수는 6으로 선택됩니다. g=3.5(상자성 위상)일 때 각 사이트의 오류는 입니다 . 이 경우 . 결과는 그림 b에 나와 있으며, 이는 직교 초곡면을 따른 분할의 얽힘 엔트로피가 반복 횟수가 증가함에 따라 감소함을 보여줍니다. 그림 c는 반복 횟수가 증가함에 따라 얽힘 엔트로피가 선형적으로 감소하며 이는 예상과 일치함을 보여줍니다.

5. 알고리즘

(이미지 출처: Phys. Rev. Lett. 124, 037201)

저자도 알고리즘을 구현했는데, TEBD의 주요 아이디어는 Trotter-Suzuki 분해 기반의 어닐링 알고리즘을 사용하여 무작위로 초기화된 MPS 상태를 바닥 상태로 진화시키고, 진화 과정을 텐서 네트워크 축소 문제로 변환하는 것입니다. TEBD 알고리즘을 사용하여 수축을 해결합니다. 구체적으로, 가상 시간 진화를 통해 바닥상태를 얻을 수 있는 isoTNS를 위한 Trotterized time stepper가 제안되었습니다. 가장 가까운 이웃 상호 작용만 있다고 가정하고 해밀턴을 열과 행에 작용하는 항으로 분할한 다음 그림 (a)와 같이 Trotterized를 수행합니다. 1D TEBD 업데이트의 경우 2차로 쉽게 개선할 수 있습니다. 직교 중심에서 시작 하여 표준 1D TEBD 알고리즘과 MM 알고리즘을 호출하여 직교 중심을 점진적으로 이동시킵니다. 한 번의 스캔에서 알고리즘은 실제로 1D TEBD의 두 중첩 버전이므로 이름이 . 그 중 의 진화는 1D TEBD를 호출하여 달성되며 그 복잡도는 MM 이고 , 무제한 PEPS의 전체 업데이트 복잡도는 입니다 . 그림 (c)는 다양한 시스템 크기와 최대 결합 크기에 대한 Trotter 단계 크기의 함수로서 g=3.5 횡단 필드 Ising 모델의 에너지 오류 밀도를 보여줍니다 . 결합 크기가 증가함에 따라 최소 에너지는 정확한 결과로 수렴됩니다.

효율적인 양자 상태 단층 촬영

1. 초록

측정된 데이터에서 양자 상태를 추론하는 것은 더 큰 시스템에서는 실행 불가능합니다. 측정 횟수와 이를 처리하는 데 필요한 계산량이 시스템 크기에 따라 기하급수적으로 증가하기 때문입니다. 이 기사에서는 시스템 크기의 직접 단층 촬영보다 더 유리한 단층 촬영 방식을 제안합니다. 이 방법은 일정한 수의 하위 시스템을 균일하게 조작해야 하며 선형적인 수의 실험 조작에만 의존합니다. 이 방식은 광범위한 양자 상태, 특히 MPS에 적용될 수 있습니다.

2. 단위변환에 기초한 방식

이 방법의 핵심 아이디어는 체인을 왼쪽에서 오른쪽으로 풀기 위한 일련의 작업을 찾는 것입니다. 이 시퀀스의 각 작업은 로컬이며 차원 N에 독립적입니다.

이상적인 상태는 이고 , 이 양자 상태는 주어진 결합 차원이 R인 MPS라고 가정합니다. 이 방법의 목표는 this 을 재구성하는 것입니다 .

알고리즘 프로세스:

(이미지 출처: 네이처커뮤니케이션즈 1, 149(2010))

1) 먼저, 우리는 첫 번째 k 사이트에서 표준 양자 상태 단층 촬영을 수행한 다음 첫 번째 k 사이트의 감소된 밀도 매트릭스는 다음과 같습니다. 이 감소된 밀도 매트릭스는 고유분해를 갖습니다 . 여기서, 따라서 랭크 R과 고유값 합이 동일한 큐디트가 하나 적은 밀도 행렬이 존재 합니다 .

2) 그런 다음 정보를 사용하여 첫 번째 사이트를 풀 수 있는 첫 번째 k 위치에 대한 단일 행렬을 구성합니다 .

3) 원래 상태에 액션을 적용하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다. 그 중에는 위치에 있는 순수한 상태 도 있습니다 .

4) 그런 다음 다음 2번째부터 k+1개 위치까지 위의 과정을 반복합니다. 비유하자면, 각각의 위치 에서 작동하는 일련의 단일 행렬을 얻을 수 있습니다 . 이 시퀀스는 가 되며 , 각각은 위치 에서 작동합니다 . 이 시퀀스는 , 여기서 는 마지막 k-1 위치의 일부 순수 상태를 만듭니다.