하나의 문제 다항식 - 역 다항식

문제 :

숫자 $ N-1 $ 다항식 $의 F로 알려져있다 (X) $ 다항식 $의 G를 찾을 수 (X) $되도록 $ F (X) * G (X) \ 당량 1 $ ($ 개조 X ^ {N } $)의 모든 동작은 998 244 353 다이 감각 실시

어떻게?

약간의 분석이기 위하여 :

$ F (x)는 $는 하나, 단지 하나의 후 $ G (X) $ 즉, 그 반대면에서 $ F (x)가 $이면

그럼 다항식 $ H를 알고있는 경우 (x)를 만족 $ $ F (X) * H (X) \ $ 1 당량 ($ 개조 $ X ^ {$ \ FRAC {N} {2}} $)

물론, 필요에 따라, 반면 : $ F (X) * G (X) \ $ 1 당량 ($ 개조 $ X ^ {$ \ FRAC {N} {2}} $)

제공하기 위해, 공식 공식을 저장합니다 :

$ F (X) (G (X) -H (X)) \ 당량 $ 0 ($ 개조 $ X ^ {$ \ FRAC {N} {2}} $)

 그런 다음이

$ G (X) -H (X) \ 당량 $ 0 ($ 개조 $ X ^ {$ \ FRAC {N} {2}} $)

광장의 양쪽을 얻을 수있다 :

$ (G (X) -H (X)) ^ {2} \ 당량의 0 $ ($ 개조 $ $ X ^ {N} $)

도 확장 :

$ G (X) ^ {2} + H (X) ^ {2} -2G (X) H (X) \ 당량 $ 0 ($ 개조 $ $ X ^ {N} $)

양측은 달러 (A $) F (x)의 $를 가지고 :

$ F (x)는 G (X) ^ {2} + F (X) H (X) ^ {2} -2F (x)는 G (X) H (X) \ 당량 ($ 0 $ 개조 $ $ X ^ {N} $)

요구에 따라, $ F (x)는 G (X) \ $ 1 당량 ($ 개조 $ $ X ^ {N} $)

그래서 방정식을 단순화 할 수 있습니다 :

$ G (X) + F (X) H (X) ^ {2} -2H (X) \ 당량 $ 0 ($ 개조 $ $ X ^ {N} $)

조옮김, 제공 :

$ G (X) \ 당량 2H (X) - F (X) H (X) ^ {2} $ ($ 개조 $ $ X ^ {N} $)

이것은 해결 될 수 배

코드 :

#INCLUDE <cstdio> 
#INCLUDE <cmath> 
#INCLUDE <CString을> 
#INCLUDE <cstdlib> 
#INCLUDE <iostream> 
#INCLUDE <알고리즘> 
#INCLUDE <큐> 
#INCLUDE <적층>
 #DEFINE LL 긴 긴
 사용  스페이스 성병;
CONST LL 모드 = 998244353 ; 
LL의 F [ 100005 ];
int로 [(에 1 << 20 ) + (5) ];
구조체 노드 
{ 
    LL g의 [ 100005 ];
    INT 렌;
} 이제, 라스; 
INT의 N;
INT LIM = 1 , L = 0 ; 
LL의 pow_mul (LL의 X, Y의 LL) 
{ 
    LL의 RET = 1 ;
    반면 (Y) 
    { 
        경우 (Y & 1 ) = RET RET * X %의 모드; 
        X = X * X 모드 %, Y = >> 1 ; 
    } 
    반환 RET를; 
} 
공극 NTT (LL * A, INT 렌 의 INT K) 
{ 
    LL의 INV = pow_mul (LEN, 모드 - 2 );
    대 ( INT I = 0 ; I <렌; 내가 ++)경우 (ⅰ < 스왑 [I]로) (a [i]를, A [[I]로]);
    위한 ( int로 I = 1 ; i가 LEN <나는 << = 1 ) 
    { 
        LL W0 = pow_mul ( 3 (모드 - 1 ) / (I << 1 ));
        대 ( INT의 J = 0 ; J <LEN] = J + (I << 1 )) 
        { 
            LL w = 1 ;
            위한 ( INT O = 0 ; O <I, O ++ = *를 W0의 %의 w w 모드) 
            { 
                LL의 W1 모드;= A [J + O]는, W2는 [j는 + O + I * % w =
                A [J + O] = (W1 + W2) % 모드, [J + O + I] = ((W1-W2) 모드 % + 모드) %의 모드; 
            } 
        } 
    } 
    경우 - (K == 1 ) 
    { 
        위해 ( int로 I = 1 ; i가 <(LEN은 >> 1 스왑 (a [i]를, A [len- 난 ++)) I])를;
        위한 ( int로 I = 0 A [I]은 [I] * %의 INV의 =; 나는 LEN <I가 ++)의 모드; 
    } 
} 
A [(LL 1 << 20 ) + (5) , (B)의 [( 1 << 20 ) + (5) , (C)의 [( 1 ) +<< 20 5 ];
공극 해결 ( INT의 DEP) 
{ 
    경우 (DEP == 1 ) 
    { 
        now.g [ 0 ] = pow_mul (F [ 0 ], 모드 - 2 ); 
        now.len = 1 ; 
        라스 = 지금;
        반환 ; 
    } 
    INT NXT = (DEP + 1 ) / 2 ; 
    (NXT) 해결; 
    LIM = 1 , L = 0 ;
    반면 (LIM <= 2 * DEP) LIM << = 1 , L ++;
    위한 ( int로 I = 1 ; I ++는, 난 <LIM)에 [I] = ((에 [I >> 1 ] >> 1 ) | ((I & 1 ) << 1- ( 1 )));
    위한 ( int로 I = 0 ; I는 <LIM; 내가 ++)이 [I] = B를 [I] = 0 ;
    위한 ( int로 I = 0 ; I <가 DEP, 난 ++) A [내가] = F의 [I];
    위한 ( int로 I = 0 ; I는 NXT를 <; 내가 ++) B [I] = las.g [I]; 
    NTT (a, LIM, 1 ), NTT (b, LIM, 1 );
    대 ( INT I = 0나는 <LIM; 내가 ++) C는 [I]은 [I]가 * B [I] % 모드에서 * B [I] = %의 모드; 
    NTT (c, 임 - 1 ); 
    now.len = DEP;
    위한 ( int로 I = 0 ; I <가 DEP, 내가 ++) now.g [I] = (( 2 * las.g [I] -c [I]) 모드 % + 모드) %의 모드; 
    라스 = 지금; 
} 
INT 의 main () 
{ 
    는 scanf ( " %의 D ' , N);
    위한 ( int로 I = 0 는 scanf (; i가 N이 <I ++) " %의 LLD ' , F [I]를); 
    (N) 해결; 
    대한 ( INTI = 0 ; I <N은, 내가 ++)의 printf ( " %의 LLD " , now.g [I]); 
    의 printf ( " \ n을 " );
    반환  0 ; 
}