백작의 컬렉션
제목 설명
N 엘리먼트의 집합은, 2 ^ N 개의 상이한 서브 세트가 (공집합 함유), 이제 그 교차점 요소 K 수 있음 2 ^ N (적어도 하나), 이러한 세트의 개수에 인출되도록 설정되어있다 프로그램의 수, 응답 모드 1000000007 획득. (아 ~는 소수이다)
입력 형식
선 두 개의 정수 N, K
출력 형식
행동 적 대답.
견본
샘플 입력
3 2샘플 출력
6데이터 범위 및 팁
샘플 설명
가정 원래 세트는 {A, B, C}
조건에 대한 솔루션 만족 : {AB, ABC}, {AC, ABC}, {BC, ABC}, {AB}, {AC}, {BC}
데이터 설명
데이터, 1≤N≤1000000의 100 %; 0≤K≤N;
문제 해결
우리는이 문제는 답이 생각하는 자연 참조
C (N, K) * F (NK)
F (i)는 2 개 i-th 요소 나타내고 I 세트, 임의의 개수의 세트가 교차점의 개수가 빈 형태가되도록 선택하지만, 세트 선택되지을 정당하지 않은
폭력 알고리즘
물론 (0) = 1 F
제공자는 g (i, j)가 세트에서의 i 번째 원소를 나타내고 K의 교점이 많은 프로그램이되도록, 임의의 개수의 세트가 선택된다
g (I, J) = C (I, J) * F (IJ)
I> 1 F (I) 용 컬렉션 -Σg = (I, J) (j≤i)
22i위한 완벽한 작품 -1
하지 컬렉션 선택한 아니지만, 참고 요소 설정된 세트 선택할 수 위치 관련 컬렉션 세트를 형성하기 위해, -1
복잡도 O (N- 2 ) 점 (70)을 원하는
정답 내용 斥原 관리
F (N) = Σ (-1) 난 (N Ⅰ)을 C * (22 (NI) -1) (0≤i≤n)
ABC 에뮬레이트 집합의 A, B, C를 포함하는 교차점 집합을 나타내는
C는 (N, i)는 에뮬레이트 얼마나 많은 계산 폼 ABC의 N 세트로부터 추출 된 제 i를 나타내고
상기 소자의 i 번째 집합의 교집합이 나는 포함
의 추가 설정 한 후 임의로 선택하는 것을, 그러나 프로그램의 수는 선택되지 않습니다하지
偶加奇减，则得到全集减去这几个集合的并集，得到f（i）
1 #include<iostream>
2 #include<cstdio>
3 #define ll long long
4 using namespace std;
5 const int mod=1e9+7;
6 int n,k;
7 ll js[1000010],jsinv[1000010];
8 ll qpow(ll base,int y,int mo)
9 {
10 ll ans=1;
11 while(y)
12 {
13 if(y&1) ans=ans*base%mo;
14 base=base*base%mo;
15 y>>=1;
16 }
17 return ans;
18 }
19 void init()
20 {
21 js[0]=1;
22 for(int i=1;i<=n;i++) js[i]=js[i-1]*i%mod;
23 jsinv[n]=qpow(js[n],mod-2,mod);
24 for(int i=n-1;i>=0;i--) jsinv[i]=jsinv[i+1]*(i+1)%mod;
25 }
26 inline ll C(int n,int m)
27 {
28 return js[n]*jsinv[m]%mod*jsinv[n-m]%mod;
29 }
30 inline ll ask(int m)
31 {
32 ll ans=0;
33 for(int i=0,u=1;i<=m;i++,u=-u)
34 ans=(ans+u*C(m,i)*(qpow(2,qpow(2,m-i,mod-1),mod)-1)%mod)%mod;
35 return ans;
36 }
37 int main()
38 {
39 scanf("%d%d",&n,&k);
40 init();
41 printf("%lld\n",(ask(n-k)*C(n,k)%mod+mod)%mod);
42 return 0;
43 }
另一种等价的方法
ans=C（n，k） * ∑（-1）i-k * C（n-k，i-k）*（2ˆ2ˆ(n-i) -1） （k≤i≤n）
这种方法可以理解为固定一种组合，从其他集合中选取几个进行容斥
也能算出答案
1 #include<iostream>
2 #include<cstdio>
3 #define ll long long
4 using namespace std;
5 const int mod=1e9+7;
6 int n,k;
7 ll js[1000010],jsinv[1000010];
8 ll qpow(ll base,int y,int mo)
9 {
10 ll ans=1;
11 while(y)
12 {
13 if(y&1) ans=ans*base%mo;
14 base=base*base%mo;
15 y>>=1;
16 }
17 return ans;
18 }
19 void init()
20 {
21 js[0]=1;
22 for(int i=1;i<=n;i++) js[i]=js[i-1]*i%mod;
23 jsinv[n]=qpow(js[n],mod-2,mod);
24 for(int i=n-1;i>=0;i--) jsinv[i]=jsinv[i+1]*(i+1)%mod;
25 }
26 inline ll C(int n,int m)
27 {
28 return js[n]*jsinv[m]%mod*jsinv[n-m]%mod;
29 }
30 int main()
31 {
32 scanf("%d%d",&n,&k);
33 init();
34 ll ans=0;
35 for(int i=k,u=1;i<=n;i++,u=-u)
36 ans=(ans+u*C(n-k,i-k)%mod*(qpow(2,qpow(2,n-i,mod-1),mod)-1)%mod)%mod;
37 printf("%lld\n",(ans*C(n,k)%mod+mod)%mod);
38 return 0;
39 }