어떤 수학 관련 일을 기록하는 전용 블로그를 열고, 내가 열심히 아 기분이 더 많은 뒤에 수학 알아보기, 잘못된 경우, $의 qwq을 $ 지적하십시오
일부 기호 :
회선 번호 이론적 함수 : $ \ AST $를 $의 H = F \ AST g $는 (N) = \ sum_ $의 H는 {D | N} F (d) g (\ FRAC {N} {D}) $
$ \ 엡실론 $ 각각 $ f를 (1) \의 NEQ $ 0 $ 함수 f를 $ 대한 항등원라고하며, $의 \ 엡실론 \의 AST의 F = F $으로 존재
$의 \ 엡실론 (N) = [N = 1] $
$ \ Mathbf {ID} $, Jiaosha 어쨌든 $ \ mathbf {ID}을 알고 (N) =하지 N $ 아닌
$ \ Mathbf $ {1}, 이상 동작, 디지털 $ $ 1로서 기능 할 $ \ mathbf {1} (N) = 1 $
$ \ 피 $, 오일러 함수는 결론의 많은이 있습니다 :
$ \ Mathbf ID {} = \ 피 \ AST \ mathbf $ {1}, N = 即 $ \ sum_ {D | N} \ 피 (d) $
인버스 함수 f를 $ $ $으로의 g $으로 들어 F $ \ AST g = \ 엡실론 $ 존재
$ \ 뮤 $는 뫼비우스 함수는 $ \ 뮤 $ 실제로 $ \ mathbf {1} $의 역수
그것은 $의 \ 피 = \ 뮤 \의 AST의 \의 mathbf {ID} $입니다
$ \ MU (N) $ 값을 찾는 방법에 대한 :
각 품질 인자의 N- $ $ 소인수 분해가 상이하고, 프라임 계수 집합의 개수는 다음 $의 P $를 $ \ MU (N) = 후에 경우 ( - 1) ^ P $으로, 또는 $ \ MU (N) = $ 0
$ \ sum_ {D | N} = [N = 1] $ \ (μ) (d)
뫼비우스 반전 :하자 $ F (n)은 = \ sum_ {D | N} (F)는 (d) $ 후 $의 F (N) = \ sum_ {D | N}가 MU \ (\ FRAC {N} {D}) F (d) $
증명 :
$의 F (N) = \ sum_ {m | N} \ {N} FRAC {m} = 1] F (m) $
$의 F (N) = \ sum_ {m | N} \ {sum_ D | \ FRAC {N} {m}} \ 뮤 (D) F (m) $, 枚举 $ d 개의 $
MU \ (d) \ sum_ | $의 F (N) = \ sum_ {N} {D m | \ FRAC {N} {D}} F (m) $
$의 F (N) = \ sum_ {D | N} MU \ (D) F (\ FRAC {N} {D}) $
MU \ (\ FRAC {N} {D}) F (d) $ | $의 F (N) = \ sum_ {N} D
결론 다른 방향 : $ F (n)은 = \ sum_는 {N | D} | MU \ (\ FRAC {N} {D F (d) $ 후 $의 F (N) = \ sum_ {D N}가 }) F (d) $
그리고 거의 증거 위
이항 반전 (즉, 포함 및 제외한다) :
처음
$ \ Sum_ K = {0} ^ {N} (- 1) ^ k 개의 \의하기 Binom {N} {K} = [N = 0] $, 점화식에 의해 설명 될 수 있고, 수학적 귀납법을 해결
$ N = 0 수식 $ $ $ 1, $ n은 $ 1 $식이 $ $ $ n은에서 얻어진다 고려에 $ 0 $ $를 $의 N + 1 같을 때
각각 $ \하기 Binom {N} {K}의 $ 그는 $ \하기 Binom {N + 1} {K}에 기여 \하기 Binom {N + 1} {K + 1} $ 때문에 $ 것 (- 1) ^ (K), (- 1) ^ {K + 1} $ 단지 상이한 양극과 음극 오프셋 때문에 $ N + 1 $ 0 $ $
제공자 $ F (N) = \ sum_ {K = 0} ^ {N} \하기 Binom는 {N}는 {K}는 F가 (K) $ 후 N $의 F (N) = \ sum_ {K = 0} ^ {존재 } (- 1) ^ {NK} \하기 Binom {N} {K} F (K) $
증명 :
$의 F (N) = \ sum_ m = {0} ^ {N} = 0 내지] \하기 Binom {N} {m} F (m) $
$의 F (N) = \ sum_ {m = 0} ^ {N} \ sum_ {K = 0} ^ {내지} (- 1) ^ k 개의 \의하기 Binom {내지} {K} \하기 Binom {N} {m} F (m) $
실측치 $ \하기 Binom {내지} {K}는 \하기 Binom {N} {m} $ 평균 N- $ $ $ m $ 남은 재 선택 $ k에 $으로로부터 선택되고, $ 및 $는 N- $ k에 $으로로부터 선택되고, $로부터 선택 나머지 m의 $는 동일합니다
$의 F (N) = \ sum_ {m = 0} ^ {N} \ sum_ {K = 0} ^ {내지} (- 1) {N} ^ k 개의 \의하기 Binom {K} \하기 Binom {NK} {m} F (m) $, $ 枚举의 유전율 $
$f(n)=\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{n}{k}\sum_{m=0}^{n-k}\binom{n-k}{m}f(m)$
$f(n)=\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{n}{k}F(n-k)$，换一下下标：
$f(n)=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{n-k}\binom{n}{k}F(k)$
杜教筛前置内容：
$S_{f}$ 表示 $f$ 的前缀和，即 $S_{f}(n)=\sum_{i=1}^{n}f(i)$
$S_{f \ast g} = \sum_{d=1}^{n} g(d)S_{f}(\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor)$
证明：
$\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}f(d)g(\frac {i} {d})$
$=\sum_{d=1}^{n}g(d)\sum_{i}^{\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor}f(i)$
$= \sum_{d=1}^{n} g(d)S_{f}(\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor)$
（待续）