매일 질문 _190915

대해 알려진 \ (X \) 방정식 \ (X ^ 2 \ LN X = A \ 에선 단 \의 라그의 X \) 했다 \ (3 \) 별개의 실제 뿌리 발견 \ (A \) 의 범위 .
분석 : 즉 원래 타이틀에 \ (X \) 식 \ (\ LN X- \ dfrac { \ LN A} {X ^ 2 + 0 = A} \) 세 가지 실제 뿌리를두고있다. 참고
\의 [의 F (X) = \
LN X- dfrac \ {A \ LN A} {있는 X ^ 2는 + A}, x> 0, A> 0 \] 하기 \ (F (x)는 \) 유도체가 될 수있다 이 \ [F '(X) = \ dfrac 1X + dfrac \ {2A를 {\ LN A} X} {(X ^ 2 + a) ^ 2} = \ dfrac {X ^ 4 + 2A (1+ \ LN a) X ^ 2 + A ^ 2}
{X (X ^ 2 + a) ^ 2}. \] 하기 (\ (X) \ F)의 세 가지 제로하고있다 \ (F '(X) \ ) 적어도 두 변화가있는 숫자 0, 즉 방정식 \의 [X ^ 4 + 2A (
1+ \ LN a) X ^ 2 + A ^ 2 = 0 \] 있도록 적어도 두 개의 긍정적 뿌리있다
[\ 및 {케이스} 시작 \ \ 델타 = 4A ^ 2 (1+
\ LN a) ^ 2-4a ^> 0~2 \\ 및 -2a (1+ \ LN a)> 0, \ {단부 케이스} \] 용액을 얻었다\ (0 <A <\ dfrac. 1 {\ RM ^ 2 E} \) . 이 시점에서, \ (F '(X) \ ) 에서 \ ((0, + \ infty ) \) 의 다른 단 두 개의 제로, 필요 \ (\ m을 N-) , 및 N <\ (m을 \) . 따라서 \ (F (X) \) 에서 \ ((0, M) (N, + \ infty)는 \) 단조롭게 증가 (\ [m, n]을 \ ) 단조롭게 감소시킨다. 주목 (\을 F \ (오른쪽 \ \의 SQRT {A}를) 왼쪽 = 0 \) . 그리고
\ [F '\ 좌측 (\의 SQRT {A} \ 오른쪽) = 왼쪽 2A ^ 2 \ (2 + {\ LN}는 \ 오른쪽) <0. \]
그래서 \ (0 <m <\ SQRT {A} <N- \) 이므로
\ [F (m)> F \ 좌측 (\의 SQRT {A} \ 오른쪽) = 0> F (N). \]
걸릴 \ (X_2 = N- +. 1> N- \) 다음
\ [\ \에있는 \ FORALL 왼쪽 (0 \ dfrac {1} {\ mathrm {E} ^ 2} \ 오른쪽), F (X_2) > 0- \ dfrac {A {\
LN} {A} X ^ 2 + A}> 0 \] 걸릴 \ (X_1 = \ mA dfrac} {A} + {m <m \) 후,
\ [\ \에있는 \ FORALL dfrac \ 좌측 (0 \ dfrac {1} {\ mathrm {E} ^ 2} \ 오른쪽), F (X_1) <{\ LN} A- {A {\ LN}는 0} {A} + 2 =
0 \] ^ 요약 때 \ (0 <A <\ dfrac {1} {\ mathrm {E} ^ 2} \) , 함수 \ (F (X) \) 각각 단조 섹션의 세 부분 제로. 세 제로는 간격에 위치
\의 [(X_1, m)
(m, N), (N, X_2). \] 따라서 요청 \ (a \)를 가지고 값 범위 \ (\ 좌측 (0 \ dfrac. {{1} {\ RM E ^ 2}} \ 오른쪽) \) .