E: 整数划分问题题目描述
将正整数 n 表示成一系列正整数之和， n = n 1 + n 2 + . . . + n k ，其中 n 1 ≥ n 2 ≥ n 3 ≥ . . . ≥ n k ≥ 1 , k ≥ 1 。
正整数 n 的这种表示称为正整数 n 的划分，正整数 n 的不同的划分个数称为正整数 n 的划分数，记作 p ( n ) 。
例如，正整数 6 有如下 11 种不同的划分，所以 p ( 6 ) = 11 。
6 = 6;
6 = 5 + 1;
6 = 4 + 2;
6 = 4 + 1 + 1;
6 = 3 + 3;
6 = 3 + 2 + 1;
6 = 3 + 1 + 1 + 1;
6 = 2 + 2 + 2;
6 = 2 + 2 + 1 + 1;
6 = 2 + 1 + 1 + 1 + 1;
6 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1;
输入描述
多组数据，每组数据包含一个正整数 n ( 1 ≤ n ≤ 20 ) 。
输出描述
每组数据输出一行，包含一个正整数 k ，表示正整数 n 的划分数。
样例输入
1
2
样例输出
1
2
题解:
这题课上，老师用的办法就是递归，而且和汉诺塔不一样，它的状态转移方程除了递归“整体法”，分步可以很容易表示出来，这类递归已经几乎就是递推来实现，
直接找规律找不到sum的规律，而且设置sum作为变量来做，状态方程更加麻烦，会有重复筛选的情况，所以用模拟的办法
6 = 6;
6 = 5 + 1; （dp【1】【j】）
6 = 4 + 2;
6 = 4 + 1 + 1; （dp【2】【j】）
6 = 3 + 3;
6 = 3 + 2 + 1;
6 = 3 + 1 + 1 + 1; （ dp【3】【j】）
6 = 2 + 2 + 2;
6 = 2 + 2 + 1 + 1;
6 = 2 + 1 + 1 + 1 + 1; （dp【4】【j】- k）
6 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1; （dp【5】【j】-k）
除了多个状态要考虑，这题找规律过程最重要的是发现它是按照什么方式往后面寻找，从而使得情况不会有重复的出现
而且题目的 n=6 例子给了提示，即从5—1，而后面的数必定小于等于前一个数（an >= an+1），极限是最终分解为 n个数
这个是例题，先给出例题的解法—不是直接模拟，而是模拟了搜索树，
但是它不需要遍历到最后，然后把所有叶子节点都记下，
它的办法是计分支数，每次遇到有分支就+1，然后递归下一步，把之后的分支数的返回加起来
—题解的状态转移方程，直接设为二元变量，f（a，b），输出对象结果序列的次数，规定a小于等于b为标准情况
f(n, m) = 1; ( n = 1 or m = 1 )
f(n, n); ( n < m )//分割n本身
1+ f(n, m - 1); ( n = m )//需要有-1操作才能有变化
f(n - m, m) + f(n, m - 1); ( n > m )//
要求
先确定自变量，然后对—拆数方法—分类讨论，拆数的依据是m与n的大小关系_可分为，
- 最终恰好有一个为1，此时找到一个分支
- n=m，但不到1，没到底，令其中一个区间收缩
- 一个是1 ，一个是n-1或m-1，
- 以及最难想的一种情况4 ，一个是m和n-m，刚好互补的关系，然后，另一个n不变，m变
在递归的过程中，不断分解成两块，但是它是两个变量都是自动处理的，
有点类似于”二分搜索“—有一点分治的意思在里面，（这个概念现在还不是很熟练，以后另外补上）
代码：
1 #include <iostream> 2 #include <cstring> 3 #include <queue> 4 #include <cstdio> 5 #include <cmath> 6 #include <map> 7 #include <algorithm> 8 typedef long long ll; 9 using namespace std; 10 int n1; 11 int sum=0; 12 13 int f(int m,int n) { 14 if(m==1||n==1) { 15 return 1; 16 } 17 if(m==n) { 18 //此时需要有一个做变动才行 19 return f(m,m-1)+1; 20 21 } 22 if(m<n) { 23 return f(m,m); 24 25 } 26 if(m>n) { 27 return f(m-n,n)+f(m,n-1); 28 } 29 30 31 } 32 33 34 35 int main() { 36 37 while(cin>>n1) { 38 cout<<f(n1,n1)<<"\n"; //最深不会超过n 39 } 40 41 42 43 44 return 0; 45 46 }
然后这是我没做出来的思路，如果不看题解，规定递归做，一开始会这样想，每次固定 a ：
设 f（a，n）为分解 n 最终所得序列（这个序列整体作为一个状态，或者说自变量）n表示最终最多分解成n个1；
f（a，n）= { n：（n=a） || a-1 + f（n-a+1）：（a=n-1，n-2，n-3，····，1），（要求，a >= f（n-a）中的任意元素）}
相当于a1 从 n一直试到 1 ，a1固定，拆n-a1，此时再固定a2，拆n-a1-a2，直到n-a1-a2-an，试到1 返回
然而 并。没。有。做出来。
目前反思：因为这里设置的边界条件是模糊的，a=1 并不清晰，因为这个条件不能保证求和的值 sum== n
做不出来的原因可能是，既想着模拟分割来做，又想着—搜索（第三步相当于dfs）来做，思路混乱，也不是很了解混用的流程，返回先决条件设置错误。，
那还做不出来怎么办，这个题显然可以用记忆化搜索查完，和刚刚那个想法类似，写了一个dfs的方式，
之前分割方式是否到底返回先决条件用和是否为 n 来判断
但是判断条件改为，令和为sum自动弹出当前stack，sum-stack，回到上一层，
1 #include <stdio.h> 2 #include <iostream> 3 # define MAXN 100 4 using namespace std; 5 int mark[256]; 6 int n; 7 int len=0; 8 int sum=0; 9 void DFS(int k, int pr) { 10 if(sum > n) { 11 return; 12 } else if(sum == n) { 13 len++; 14 15 } else { 16 for(int j = pr; j > 0; j--) { 17 mark[k] = j;//赋值是直接覆盖不用弹出 18 sum += j; 19 DFS(k+1,j); 20 sum -= j; 21 } 22 } 23 } 24 int main() { 25 while(cin>>n) { 26 sum=0; 27 len=0; 28 DFS(0,n); 29 cout<<len<<"\n"; 30 } 31 return 0; 32 }
至于bfs实现，个人理解，目前题目要求已经限制了宽度，检查需要的深度=1（不用递归到最后就可以了），宽度遍历不存在优势，也不需要剪枝
dp的思路——基于目前我对dp的理解程度
一般是利用二维数组，将搜索树的问题转化到二维数组——二元变量的关系上，一般难点再找关系和定义dp【i】【j】上，再找递推式
本题要求输入 n 的划分总数，容易想到，容易想到，大的划分可以分解成小的划分，总数也可以由此加上去，但是注意不能重复，
即 ：dp【i】可定义为 ，整数 为 i 时划分总数
6 = 6;
6 = 5 + 1; （dp【1】=1）
6 = 4 + 2;
6 = 4 + 1 + 1; （dp【2】=2）
6 = 3 + 3;
6 = 3 + 2 + 1;
6 = 3 + 1 + 1 + 1; （ dp【3】=3）
6 = 2 + 2 + 2;
6 = 2 + 2 + 1 + 1;
6 = 2 + 1 + 1 + 1 + 1; （dp【4】- k = 3 ）
6 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1; （dp【5】- k = 1）
这里第二种不是很明白，回头再看看吧，想起来不容易，记忆化搜索更加实用。