题目:
给定一个没有重复数字的序列,返回其所有可能的全排列。
示例:
输入: [1,2,3]
输出:
[
[1,2,3],
[1,3,2],
[2,1,3],
[2,3,1],
[3,1,2],
[3,2,1]
]
思路:
以示例输入: [1, 2, 3] 为例,如果让我们手写,要做到不重不漏,我们书写的策略可能是这样:“一位一位确定”,这样说比较笼统,具体是这样的:
1、先写以 1 开始的两个排列:[1, 2, 3]、[1, 3, 2];
2、再写以 2 开始的两个排列:[2, 1, 3]、[2, 3, 1];
3、最后写以 3 开始的两个排列:[3, 1, 2]、[3, 2, 1]。
如果数组元素多一点的话,也不怕,我们写的时候遵循下面的原则即可:
1、按数组的顺序来(不要求排序,但我们选取元素的顺序是从左到右的),每次排定 1 个元素;
说明:只有按照顺序才能做到不重不漏。
2、新排定的元素一定不能在之前排定的元素中出现。
说明:如果违反了这一条,就不符合“全排列”的定义。
其实让程序帮你找到所有的全排列也是这样的思路。如果不是这样的话,我们要写数组长度这么多层的循环,编码极其困难,代码写出来也非常不好看。
这道题可以作为理解“回溯算法”的入门题。这是一个非常典型的使用 回溯算法 解决的问题。解决回溯问题,我的经验是 一定不要偷懒,拿起纸和笔,把这个问题的递归结构画出来,一般而言,是一个树形结构,这样思路和代码就会比较清晰了。而写代码即是将画出的图用代码表现出来。
思路分析:
方法:“回溯搜索”算法即“深度优先遍历 + 状态重置 + 剪枝”(这道题没有剪枝)
以示例输入: [1, 2, 3] 为例,因为是排列问题,只要我们按照顺序选取数字,保证上一层选过的数字不在下一层出现,就能够得到不重不漏的所有排列。
说明:这里“保证上一层选过的数字不在下一层出现”的意思是我们手写的时候,后面选的数字一定不能是前面已经出现过的。为了做到这一点,我们得使用一个数组长度这么长的额外空间,记为数组 used ,只要“上一层”选了一个元素,我们就得“标记一下”,“表示占位”。
画出树形结构如下图,
注意:
1、这里特别说明一点:虽然我的图是一下子展示出来的,但是我想你画出的图应该是一层一层画出来的;
2、在每一层,我们都有若干条分支供我们选择。下一层的分支数比上一层少 1 ,因为每一层都会排定 1 个数,从这个角度,再来理解一下为什么要使用额外空间记录那些元素使用过;
3、全部的“排列”正是在这棵递归树的所有叶子结点。
我们把上面这件事情给一个形式化的描述:问题的解空间是一棵递归树,求解的过程正是在这棵递归树上搜索答案,而搜索的路径是“深度优先遍历”,它的特点是“不撞南墙不回头”。
下面解释“状态重置”。
在程序执行到上面这棵树的叶子结点的时候,此时递归到底,当前根结点到叶子结点走过的路径就构成一个全排列,把它加入结果集,我把这一步称之为“结算”。此时递归方法要返回了,对于方法返回以后,要做两件事情:
(1)释放对最后一个数的占用;
(2)将最后一个数从当前选取的排列中弹出。
事实上在每一层的方法执行完毕,即将要返回的时候都需要这么做。这棵树上的每一个结点都会被访问 2 次,绕一圈回到第 1 次来到的那个结点,第 2 次回到结点的“状态”要和第 1 次来到这个结点时候的“状态”相同,这种程序员赋予程序的操作叫做“状态重置”。
“状态重置”是“回溯”的重要操作,“回溯搜索”是有方向的搜索,否则我们要写多重循环,代码量不可控。
class Solution(object):
def permute(self, nums):
#2019/6/13
"""
:type nums: List[int]
:rtype: List[List[int]]
"""
res = []
def dfs(tmp, nums):
if not nums:
res.append(tmp)
for i, x in enumerate(nums):
dfs(tmp + [x], nums[:i] + nums[i + 1:])
dfs([], nums)
return res