堆
“堆”(Heap),实际上就是一种特殊的树。
什么样的树才是堆?需要满足两个条件
一、 堆是一个完全二叉树;
二、 堆中每一个节点的值都必须大于等于(或小于等于)其子树中每个节点的值(也可以说是其左右节点的值)。
大顶堆
对于每个节点的值都大于等于子树中每个节点值的堆,我们叫作“大顶堆”。
小顶堆
对于每个节点的值都小于等于子树中每个节点值的堆,我们叫作“小顶堆”。
如图,1和2就是大顶堆,3是小顶堆,4不是堆,因为4不是一个完全二叉树
如何储存一个堆
因为堆是一棵完全二叉树,完全二叉树比较适合用数组来存储。
因为我们不需要存储左右子节点的指针,单纯地通过数组的下标,就可以找到一个节点的左右子节点和父节点。
用数组来存储完全二叉树是非常节省存储空间的。
数组中下标为 i 的节点的左子节点,就是下标为 i∗2 的节点,右子节点就是下标为 i∗2+1 的节点,父节点就是下标为 i/2 的节点。
堆化
当我们在堆中插入或删除元素,倒置堆不再符合堆的特性时,需要进行调整,让其重新满足堆的特性,这个过程就是堆化。
堆化分为两种,从上往下和从下往上。
堆的核心操作
往堆中插入一个元素
我们让新插入的节点与父节点对比大小。如果不满足子节点小于等于父节点的大小关系,我们就互换两个节点。
一直重复这个过程,直到堆化的完成。这是一个典型的从下往上的堆化方法。
删除堆顶元素
堆顶元素是比较特殊的,根据堆的定义,堆顶元素存储的就是堆中数据的最大值或者最小值。
假设是大顶堆,删除了最大的元素,就要将第二大的元素放置在堆顶。
如果像插入元素一样比较交换的话,会出现问题。
问题就是就是最后堆化出来的堆并不满足完全二叉树的特性。
为了解决这个问题,需要改变思路。
我们把最后一个节点放到堆顶,然后利用同样的父子节点对比方法。
对于不满足父子节点大小关系的,互换两个节点,并且重复进行这个过程,直到父子节点之间满足大小关系为止。
为了避免这种数组空洞的问题,所以我们移除数组中的最后一个元素。这种方法堆化之后的结果,肯定满足完全二叉树的特性。
利用这个方法,在堆化的过程中,都是交换操作,不会出现数组中的“空洞”。(可以理解成把空洞放置在数组末尾)
这是一个典型的从上往下堆化的过程。
堆操作的代码实现
public class Heap {
private int[] a; // 数组,从下标1开始存储数据
private int n; // 堆可以存储的最大数据个数
private int count; // 堆中已经存储的数据个数
public Heap(int capacity) {
a = new int[capacity + 1];
n = capacity;
count = 0;
}
public void insert(int data) {
if (count >= n) return; // 堆满了
++count;
a[count] = data;
int i = count;
while (i/2 > 0 && a[i] > a[i/2]) { // 自下往上堆化
swap(a, i, i/2); // swap()函数作用:交换下标为i和i/2的两个元素
i = i/2;
}
}
}
public void removeMax() {
if (count == 0) return -1; // 堆中没有数据
a[1] = a[count];
--count;
heapify(a, count, 1);
}
private void heapify(int[] a, int n, int i) { // 自上往下堆化
while (true) {
int maxPos = i;
if (i*2 <= n && a[i] < a[i*2]) maxPos = i*2;
if (i*2+1 <= n && a[maxPos] < a[i*2+1]) maxPos = i*2+1;
if (maxPos == i) break;
swap(a, i, maxPos);
i = maxPos;
}
}
堆化的过程是顺着节点所在路径比较交换的,所以堆化的时间复杂度跟树的高度成正比。
包含 n 个节点的完全二叉树,树的高度不会超过 log n。
插入数据和删除堆顶元素的主要逻辑就是堆化,所以,往堆中插入一个元素和删除堆顶元素的时间复杂度都是 O(logn)。