蓝桥杯 算法训练 Hankson的趣味题

问题描述

　　Hanks 博士是BT (Bio-Tech，生物技术) 领域的知名专家，他的儿子名叫Hankson。现 在，刚刚放学回家的Hankson 正在思考一个有趣的问题。 今天在课堂上，老师讲解了如何求两个正整数c1 和c2 的最大公约数和最小公倍数。现 在Hankson 认为自己已经熟练地掌握了这些知识，他开始思考一个“求公约数”和“求公 倍数”之类问题的“逆问题”，这个问题是这样的：已知正整数a0,a1,b0,b1，设某未知正整 数x 满足： 1． x 和a0 的最大公约数是a1； 2． x 和b0 的最小公倍数是b1。 Hankson 的“逆问题”就是求出满足条件的正整数x。但稍加思索之后，他发现这样的 x 并不唯一，甚至可能不存在。因此他转而开始考虑如何求解满足条件的x 的个数。请你帮 助他编程求解这个问题。

输入格式

　　输入第一行为一个正整数n，表示有n 组输入数据。

　　接下来的n 行每 行一组输入数据，为四个正整数a0，a1，b0，b1，每两个整数之间用一个空格隔开。输入 数据保证a0 能被a1 整除，b1 能被b0 整除。

输出格式

　　输出共n 行。每组输入数据的输出结果占一行，为一个整数。
　　对于每组数据：若不存在这样的 x，请输出0； 若存在这样的 x，请输出满足条件的x 的个数；

样例输入

2
41 1 96 288
95 1 37 1776

样例输出

6
2

样例说明

　　第一组输入数据，x 可以是9、18、36、72、144、288，共有6 个。
　　第二组输入数据，x 可以是48、1776，共有2 个。

数据规模和约定

　　对于 50%的数据，保证有1≤a0，a1，b0，b1≤10000 且n≤100。
　　对于 100%的数据，保证有1≤a0，a1，b0，b1≤2,000,000,000 且n≤2000。

一开始肯定都会想到枚举，看到下面的数据规模也就放弃了，肯定是要超时的。正确做法是枚举b1的因数，然后判断是否符合题目条件，同时注意先对求最小公倍数的方程化简处理，会涉及到数论的一些知识（辗转相除法），注意使用小技巧减少耗时，题目数据刚好在整型表示范围内，代码如下：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
int a0,a1,b0,b1;
int gcd(int m,int n)
{
    return n==0? m:gcd(n,m%n);
}
int judge(int i)
{
    if(i%a1!=0)
    return 0;
    return gcd(a0/a1,i/a1)==1&&gcd(b1/b0,b1/i)==1;   //通过数学方法推导求得
}
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    while(n--)
    {
        scanf("%d%d%d%d",&a0,&a1,&b0,&b1);
        int cnt=0;
        int i;
        for(i=1;i*i<b1;i++)
        {
            if(b1%i!=0)
            continue;
            cnt+=judge(i);    
            cnt+=judge(b1/i);  //一个循环找出两个因数，节省了时间。
        }
        if(i*i==b1)
        cnt+=judge(i);   //最后再判断开根号的因数 例如b1=9时，判断3，此时情况特殊，放在循环外
        printf("%d\n",cnt);
    }
    return 0;
}