概率论做题笔记(贝叶斯公式)

Knowledge points

1.条件概率
设 $A$， $B$是两个事件，且 $P(A)$ $>$ $0$，称

$P(B|A)=\frac{P\left(AB\right)}{P(A)}$

为在事件发生的条件下事件发生的条件概率.
2.乘法定理
设 $P(A)$ $>$ $0$，则有
$P(AB)=P(B|A)P(A)$
上式称为乘法公式.还可以推广到多种情况，例如，设 $A$, $B$, $C$为事件，且 $P(AB)$ $>$ $0$，则有
$P(ABC)$ $=$ $P(C|AB)$ $P(B|A)$ $P(A)$.
3.全概率公式
设试验 $E$的样本空间为 $S$， $A$为 $E$的事件， $B_1$， $B_2$，…, $B_n$为 $S$的一个划分，且 $P$( $B_i$) $>$ $0$ ( $i$ $=$ $1$, $2$,… $n$) 则
$P(A)=P(A|B_1)P(B_1)+P(A|B_2)P(B_2)+...+P(A|B_n)P(B_n).$
上式称为全概率公式.
4.贝叶斯公式
设试验 $E$的样本空间为 $S$. $A$为 $E$的事件， $B_1$， $B_2$，…, $B_n$为 $S$的一个划分，且 $P(A)$ $>$ $0$, $P$( $B_i$) $>$ $0$ ( $i$ $=$ $1$, $2$,… $n$) 则
$\mathrm{P}\left(B_{i} | A\right)=\frac{P\left(B_{i} A\right)}{P(A)}=\frac{P\left(A | B_{i}\right) P\left(B_{i}\right)}{\sum_{j=1}^{n} P\left(A | B_{j}\right) P\left(B_{j}\right)}, i=1,2, \cdots, n$
上式称为贝叶斯公式.
5.独立性
设 $A$， $B$是两个事件，如果满足等式
$P(AB)=P(A)P(B)$
则称事件 $A,B$相互独立，简称 $A,B$独立.

Question

例1·系统可靠性问题

试分别求以下两个系统的可靠性:
(1)设有4个独立工作的元件 $1,2,3,4.$它们的可靠性分别为 $p1，p2,p3,p4,$将它们按图(1)的方式连接(称为并串联系统);

思路

可看作两个相互独立的系统： $1--->2--->3$ $1--->4$
以 $A_i$表示事件“第 $i$个元件正常工作”， $i=1,2,3,4$,以 $A$表示”系统正常工作“，因为各元件相互独立且有 $P(A_i)=P_i(i=1,2,3,4)$，所以有：
$A=A_1A_2A_3{\bigcup}A_1A_4$
由加法公式及各元件工作的独立性得：
$P(A)=P(A_1A_2A_3)+P(A_1A_4)-P[(A_1A_2A_3){\bigcap}(A_1A_4)]$
$=P(A_1)P(A_2)P(A_3)+P(A_1)P(A_4)-P(A_1A_2A_3A_4)$

Answer:

$P(A)=p_1p_4+p_1p_2p_3-p_1p_2p_3p_4$
(2)设有5个独立工作的元件 $1,2,3,4,5.$它们的可靠性均为 $p,$将它们按图(2)的方式连接(称为桥式系统).

思路

将元件3分为正常工作和失效两种情况，就可以将本题简化为第一问的并串联系统，由全概率公式：
$P(A)=P(A|A_3)P(A_3)+P(A|{\overline{A_3}})(P({\overline{A_3}})$
当系统正常工作时，系统简化成下列图(1)的情况：

$此时P(A|A_3)=P[(A_1{\bigcup}A_4)(A_2{\bigcup}A_5)]$
当系统失效时，系统简化成下列图(2)的情况：

$此时P(A|{\overline{A_3}})=P(A_1A_2{\bigcup}A_4A_5)$
中间运算过程略去.

Answer:

$P(A)=2p_2+2p_3-5p_4+2p_5$
例2·三门问题

假设你正在参加一个游戏节目.你看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，另外两扇门后面则.各藏有一只山羊.选中后面有车的那扇门可赢得该汽车.你选定了一扇门，但没去打开它.知道门后面有什么的主持人打开了另一扇后面有山羊的门.主持人问你要不要换另一扇仍然关上的门.问题是:换另一扇门会增加你赢得汽车的概率吗?

必要的假设：

1.你选定了1号门，主持人打开了3号门；
2.汽车等可能放在某个门后面；
3.如果你选的1号门后面是羊,那么主持人肯定打开另一扇后面是羊的门；
4.如果你选的1号门后面是车，那么主持人以概率 $p$打开3号门，以概率 $1-p$打开2号门，这里 $0<=p<=1$

思路

令 $B_i$= { $i$号门后面是车}, $i$=1,2,3, $A$= {主持人打开3号门}，则
$P(B_1)=P(B_12)=P(B_3)=1/3,P(A|B_1)=p,P(A|B_2)=1,P(A|B_3)=0$
由贝叶斯公式，不换能得到汽车的概率为
$P\left(B_{1} | A\right)=\frac{P\left(B_{1}\right) P\left(A | B_{1}\right)}{P\left(B_{1}\right) P\left(A | B_{1}\right)+P\left(B_{2}\right) P\left(A | B_{2}\right)+P\left(B_{3}\right) P\left(A | B_{3}\right)}=\frac{p}{1+p}$
因而换能得到汽车的概率为
$\frac{1}{1+p}$

Answer:

1.当 $p<1$时，换后得到汽车的概率更大；
2.当 $p=$时，换与不换得到汽车的概率都是 $\frac{1}{2}$
3.特别地当 $p=0$时，如果1号门后面是车，则主持人一定打开2号门.所以如果主持人打开3号门，则意味着车一定在2号门后面，换能保证一定得到汽车.