51nod 1058 - N的阶乘的长度 - 简单数论

1058 N的阶乘的长度

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题目描述 

输入N求N的阶乘的10进制表示的长度。例如6! = 720，长度为3。

输入

输入N(1 <= N <= 10^6)

输出

输出N的阶乘的长度

输入样例

6

输出样例

3

题目分析

首先我们要知道13的阶乘就会爆int（int的数据范围为-2147483648～2147483647），21的阶乘就会爆long long（long long的数据范围是 -9223372036854775808~9223372036854775807），显然不能直接算阶乘，如果用数据模拟乘法，一次乘法复杂度为n平方，n - 1次乘法复杂度就是n立方，显然超时。

但我们知道一个数n的长度，那么n！长度，于是我们可以利用对数函数的运算法则将乘法变为对数函数的加法，即，解决了溢出同时复杂度降为O(n)

注意上述等式成立是忽略了log的精度，在现实中我们是要考虑精度的，只是10^6相对与浮点数的精度而言可以忽略不记（不会溢出），因此我们不用去考虑精度损失。

代码

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    double ans = 1;
    for (int i = 1; i <= n; ++ i){
        ans += log10(i);
    }
    cout << (int)ans << endl;
    return 0;
}