[学习笔记] 分拆数的几种求法

• 对分拆数的多种求法做了简单的整理。

问题

• 令 $f_n$ 表示将 $n$ 进行分拆的方案数。
• 例如， $1 + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 2 = 1 + 3 = 2 + 2 = 4$ ，所以 $f_4 = 5$ 。
• 给出 $n \le 10^5(n \le 10^5)$，求 $f_1, f_2, ..., f_n$ 对 $998244353$ 取模。

算法一

• 考虑根号分治，设 $S = \sqrt{n}$。
• 对于 $> S$ 的数，设 $g_{i,j}$ 表示选了 $i$ 个数总和为 $i(S+1) + j$ 的方案数，转移有两种：
  1. 新加入一个数，初始值为 $S + 1$： $g_{i,j} += g_{i - 1, j}$；
  2. 给之前选的所有数 +1： $g_{i,j} += g_{i,j - i}$。
• 不难发现，这样转移对于每一种拆分都有唯一的构造方式，并且第一维只有 $\mathcal O( \sqrt{n})$ 级别，时间复杂度 $\mathcal O(n \sqrt{n})$。
• 求出 $>S$ 的数的 $\text{DP}$ 数组后，对于 $\le S$ 的数，暴力背包 $\text{DP}$ 即可，总的时间复杂度 $\mathcal O(n \sqrt{n})$。
• 这应该是最为通用的做法，常数也比较小。

算法二

• 令 $f_0 = 1$，考虑 $f_i$ 的生成函数
  $\begin{aligned} F(x) &= \sum \limits_{i = 0}^{\infty}f_ix^i \\ &= \prod \limits_{i = 1}^{\infty} \frac{1}{1 - x^i}\\ &= \exp\left(\sum \limits_{i = 1}^{\infty} \ln \frac{1}{1-x^i}\right)\\ \end{aligned}$
• 注意到
  $\begin{aligned} \ln \frac{1}{1 - x^i} &= \int (1 - x^i)\left(\frac{1}{1 - x^i}\right)' dx\\ &= \sum \limits_{j = 1}^{\infty}x^{ij} - \sum \limits_{j = 2}^{\infty}\frac{j - 1}{j}x^{ij}\\ &= \sum \limits_{j = 1}^{\infty}\frac{x^{ij}}{j}\\ \end{aligned}$
• 所以
  $\begin{aligned} F(x) = \exp\left(\sum \limits_{i = 1}^{\infty}\sum \limits_{j = 1}^{\infty} \frac{x^{ij}}{j}\right)\\ \end{aligned}$
• 可以 $\mathcal O(n \ln n)$ 预处理出内部系数，再 $\exp$ 回去。
• 总的时间复杂度 $\mathcal O(n \log n)$。

算法三

• 还是算法二中的生成函数，由 五边形数定理 得：
  $\begin{aligned} \phi(x) = \prod \limits_{i = 1}^{\infty} (1 - x^i) = 1 + \sum \limits_{k = 1}^{\infty}(-1)^kx^{\frac{k(3k - 1)}{2}} \end{aligned}$
• 这里直接引用 visit_world博客中的证明。
• 由于 $\phi(x)F(x) = 1$，可以直接多项式求逆，时间复杂度 $\mathcal O(n \log n)$。
• 还有一种更简单的方法， 注意到 $\phi(x)(\mod x^{n + 1})$ 中系数不为 $0$ 的项只有 $\mathcal O(\sqrt{n})$ 个，暴力模拟求逆即可，时间复杂度 $\mathcal O(n \sqrt{n})$。