线性相关与线性无关

5.1.3线性相关与线性无关

定义1
设 $V$是数域 $F$上的线性空间， $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\in V$,如果 $F$中存在 $n$个不全为零的数 $k_1,k_2,\cdots,k_n$使得 $\sum_{i=1}^n k_i\alpha_i=\theta$则称
$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$线性相关，否则称 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$线性无关.
线性无关亦可等价叙述为：
如果对 $F$中 $n$个数 $k_1,k_2,\cdots,k_n$当 $\sum\limits_{i=1}^nk_i\alpha_i=\theta$时，必可推出 $k_i=0(i=1,2,\cdots,n)$
或者说，
只要 $k_1,k_2,\cdots,k_n$不全为0，则 $\sum\limits_{i=1}^nk_i\alpha_i$必不为 $\theta$.
定义2
设 $V$是数域 $F$上的线性空间，对向量 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\in V$,数 $k_1,k_2,\cdots,k_n\in F$,则称 $\sum\limits_{i=1}^nk_i\alpha_i$是 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$的一个线性组合.如果向量 $\beta$能够写成 $\sum\limits_{i=1}^nk_i\alpha_i$,则称 $\beta$可以由 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$线性表出.或者说 $\beta$是 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$的线性组合.
定义3
设 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$与 $\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_m$是线性空间 $V$中两组向量，如果每个 $\alpha_i(i=1,2,\cdots,n)$都可以由向量组 $\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_m$线性表出，我们就称向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$可由向量组 $\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_m$线性表出.若两个向量组可以互相线性表出，就称这两个向量组等价.

定理1
设 $V$是一个线性空间， $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n(n \ge 2)$是 $V$中向量，则 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$线性相关的充分必要条件是 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$中必有一个向量 $\alpha_i$可由其余的 $\alpha_1,\cdots,\alpha_{i-1},\alpha_{i+1},\cdots,\alpha_n$线性表出.
定理2
设 $V$是一个线性空间， $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n,\beta$是 $V$中的向量，若 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$线性无关，而 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n,\beta$线性相关，则 $\beta$可由 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$线性表出，且表示法唯一.
定理3
设 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$与 $\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_m$是线性空间 $V$中的两组向量，若 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$可由 $\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_m$线性表出，且 $n>m$，则 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$线性相关. $\Downarrow$
推论：
如果 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$可由 $\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n$线性表出，且 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$线性无关，则 $m\ge n$.