首先介绍以下一些概念：
向量组：由线性空间中的有限个向量组成 可以看成一个矩阵。
线性表出：设α₁，α₂，…，αₑ(e≥1)是域P上线性空间V中的有限个向量，若V中向量α可以表示为α=k₁α₁+k₂α₂+…+kₑαₑ(kₐ∈P，a=1，2，…，e)，则称α是向量组α₁，α₂，…，αₑ的一个线性组合，亦称α可由向量组α₁，α₂，…，αₑ线性表示或线性表出。
简单的说α可以由这个向量组通过数乘相加的方式来表示就说它可以被这个向量组线性表出。
线性就是说他们都是一次的 没有点乘
为了说明怎样的一个向量组才能线性表出线性空间中的所有向量呢？为了解释这个问题我们引入线性相关和线性无关的概念：
若线性空间V中存在向量α1、α2、α3，又有a、b、c属于数域R且不全为0 使得：aα1+bα2+cα3=0 则这三个向量或者说向量组线性相关。
我换一个简单的说法，这个向量组中任何一个向量不能由其他向量线性表出即使线性无关。或者说没有多余的
α=2α1+3α2+α3，假若说α1，α2，α3线性相关则它表示方式不唯一这就很讨厌，线性相关就说明α1，α2，α3这中间任何一个都可以由其他两个得到，那为什么不直接用两个来表示呢，更简洁。
极大线性无关组：设S是一个n维向量组，α1,α2,...αr 是S的一个部分组，如果满足(1) α1,α2,...αr 线性无关；(2) 向量组S中每一个向量均可由此部分组线性表示，那么α1,α2,...αr 称为向量组S的一个极大线性无关组，或极大无关组。
上面是百度出来的定义，或者说不能再少了，再少就不能表示所有向量或者说减少能表示的维度了，这r个向量是最用必不可少的向量。
这个r就做矩阵的秩，初等行(列)变换不会改变矩阵的秩和线性相关性，就是对调和加乘。例如说我们将第i列加上某一列的k倍：
线性空间V中存在向量α1、α2、α3。。。αn，又有a1、a2...an属于数域R且不全为0 使得：a1α1+a2α2+..+anαn=0
我们使得 a1α1+a2α2+..+ai(kαq+αi)+..+anαn即a1α1+a2α2+..+aikaqαq+...+aiαi+..+anαn
这里我们只要使得原来的aq=现在的aqkai就好了通过初等变换我们总可以将矩阵变成一个倒三角且不会改变矩阵的秩。