P4626 一道水题 II 题解

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简要题意：

求能被 $1$ ~ $n$ 整除的最小的数。

~~真是一道水题~~

显然求 $\operatorname{lcm}{1,2, \cdots n}$ ，（ $\operatorname{lcm}$ 表示 最小公倍数）

对于 $n \leq 10^8$ 这种数据范围，显然，如果我们枚举最小公倍数（？？），将每个数分解质因数然后合并结果，或者对每两个数取最小公倍数的话，一来不能保证最优答案，而来也不能在 $1s$ 内解决问题。

所以，考虑另一种基于分解质因数的方法。

首先把 $1$ ~ $n$ 筛素数记录为 $p_1 , p_2 \cdots p_k$ ，那么所有数都可以写成：

$l = \prod_{i=1}^m p_i^{a_i} (m \leq k)$

嗯，此时，因为质因数分解重新定义了最小公倍数的概念，所以，我们 对每个质因数求出其最大幂次即可。

那么这个怎么求？其实就是 $\leq n$ 的 $p_i$ 的幂次，这些数相乘就是答案。

对于最大幂次的求法，累乘直到 再乘一次就超过 $n$ 为止。其中 当前幂次再乘一次 的这个结果要注意开 $\text{long long}$ ，因为可能爆 $\text{int}$ .

对于筛素数的过程，我们用线性筛素数（欧拉筛）。

题解区里很多人都说要卡常。但是我的程序没这个必要，因为我们算法已经最优了，提交结果 $1$ 次 $2.75s \text{AC}$ 不算优，但是没有常熟优化的情况下已经不错了。

时间复杂度： $O(n)$ .（程序后会详细说明）

实际得分： $100pts$ .

#pragma GCC optimize(2)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const ll MOD=1e8+7;

const int N=1e8+1;
const int SN=1e7+1;

inline int read(){char ch=getchar();int f=1;while(ch<'0' || ch>'9') {if(ch=='-') f=-f; ch=getchar();}
	int x=0;while(ch>='0' && ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();return x*f;}

bool h[N]; int cnt=0;
int n,prime[SN];
ll ans=1;

inline void Euler() {
	for(int i=2;i<=n;i++) {
		if(!h[i]) prime[++cnt]=i;
		for(int j=1;j<=cnt && i*prime[j]<=n;j++) {
			h[i*prime[j]]=1;
			if(i%prime[j]==0) break;
		}
	}	
} //欧拉筛模板

inline ll dg(int x) {
	int y=x;
	while((ll)y*x<=n) x*=y;
	return x;
} //计算质数 x <= n 的最大幂次

int main(){
	n=read(); Euler();
	for(int i=1;i<=cnt;i++) {
		ll x=dg(prime[i]);
		ans=(ans*x)%MOD; //累乘记录答案
	} printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}