本文基于人教版高中数学选修 2-3，本中随机变量均为离散型随机变量。
期望
期望的线性性质
\[\boxed{E(aX+b) = aE(X)+b} \]
方差
公式 1
\[\boxed{D(aX+b) = a^2D(X)} \]
课本上就有
公式 2
\[\boxed{D(X+Y)=D(X)+D(Y)} \]
证明
设 \(Z = X + Y\)，\(E(Z)=E(X)+E(Y)\)
方差的定义：
\[\begin{aligned} D(Z) &= E{(Z-E(Z))²} \\ &= D(X+Y) \\ &= E{(X+Y)^2 - (E(X)+E(Y))^2} \\ &= E(X^2 - E^2(X)) + E(Y^2 - E^2(Y))+ E(2XY) - 2E(X) E(Y) \\ &= D(X) + D(Y) + 0 \end{aligned} \]
即：\(D(X+Y) = D(X) + D(Y)\)
超几何分布
定义
\(N\) 个物品中有 \(M\) 个次品，超几何分布描述了在这 \(N\) 个样本中选 \(n\) 个，其中有 \(k\) 个次品的概率。
\[P(X = k) = \frac{C_M^k C_{N - M}^{n - k}}{C_N^n} \]
若随机变量 \(X\) 服从参数为 \(n, M, N\) 的超几何分布，则记为
\[x \sim H(n, M, N) \]
期望
\(E(x) = \frac{nM}{N}\)
证明
前置定理：
1. \(k * C_M^k = M * C_{M - 1}^{k - 1}\)
2. \(\sum_{k = 0}^m C_M^k C_{N - M}^{n - k} = C_N^n\)
推导过程
\[\begin{aligned} E(x) &= \sum_{k = 0}^m k * \frac{C_M^k * C_{N - M}^{n - k}}{C_N^n} \\ &=\frac{1}{C_N^n} \sum_{k = 0}^m k C_M^K * C_{N - M}^{n - k}\\ &=\frac{1}{C_N^n} \sum_{k = 1}^m M C_{M - 1}^{k - 1} C_{N - M}^{n - k}\\ &=\frac{M}{C_N^n} \sum_{k = 1}^m C_{M - 1}^{k - 1}C_{N - M}^{n - k}\\ &=\frac{M}{C_N^n} C_{N - 1}^{n - 1} \\ &=\frac{nM}{N} \end{aligned} \]
方差
\[D(x) = {n(\frac{M}{N})(1-\frac{M}{N})(N-n) \over (N-1)} \]
二项分布
定义
在 概率论 和 统计学 中，二项分布（Binomial distribution）是 \(n\) 个 独立 的是/非试验中成功的次数的 离散概率分布，其中每次试验的成功 概率 为 \(p\)。这样的单次成功/失败试验又称为 伯努利试验。
实际上，当 \(n = 1\) 时，二项分布就是 伯努利分布。
一般地，如果随机变量 \(X\) 服从参数 \(n\) 和 \(p\) 的二项分布，我们记 \(x \sim b(n, p)\) 或 \(X \sim B(n, p)\).\(n\) 次试验中正好得到 \(k\) 次成功的概率为
\(f(x;n,p) = P(x = k) C_n^k \ p^k \ (1-p)^{n- k}\)
期望
\(E(x) = np\)
证明
\(n\) 次试验均为独立的，每次试验的成功率为 \(p\)
根据期望的线性性质 \(E(x) = E(x_1) + E(x_2) + \dots E(x_n) = np\)
如果你想找刺激的话可以继续往下看
\[P(X=k) = C_{n}^{k}p^kq^{n-k}, k = 0,1,2,..,n,q = 1-p\\ \]
\[\begin{aligned} E(X) &= \sum_{k=0}^n k C_{n}^{k}p^kq^{n-k} \\ &= \sum_{k=1}^n k C_{n}^{k}p^kq^{n-k} \\ &= \sum_{k=1}^n k \frac{n!}{k!(n-k)!}p^kq^{n-k} \\ &= np\sum_{k=1}^n {\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}}p^{k-1}q^{(n-1)-(k-1)} \\ &= np\sum_{k=1}^nC_{n-1}^{k-1}p^{k-1}q^{(n-1)-(k-1)}\\ &= np\left[C_{n-1}^{0}p^0q^{n-1}+C_{n-1}^{1}p^1q^{n-2}+...+C_{n-1}^{n-1}p^{n-1}q^0\right] \\ &= np \end{aligned} \]
最后一步可以由二项式定理推得
方差
\[D(x) = np(1 - p) \]
参考资料
维基百科—超几何分布
维基百科—二项分布
二项分布的期望方差证明