算法模板——高级数据结构（未完待更）

1. 树状数组

名曰树状数组，那么究竟它是树还是数组呢？数组在物理空间上是连续的，而树是通过父子关系关联起来的，而树状数组正是这两种关系的结合，首先在存储空间上它是以数组的形式存储的，即下标连续；其次，对于两个数组下标 $x,y(x < y)$，如果 $x + 2^k = y$ ( $k$等于 $x$的二进制表示中末尾0的个数)，那么定义 $(y, x)$为一组树上的父子关系，其中 $y$为父结点， $x$为子结点。

然后我们来看树状数组上的结点Ci具体表示什么，这时候就需要利用树的递归性质了。我们定义Ci的值为它的所有子结点的值 和 Ai 的总和，之前提到当i为奇数时Ci一定为叶子结点，所以有Ci = Ai ( i为奇数 )。

C1 = A1
C2 = C1 + A2 = A1 + A2
C3 = A3
C4 = C2 + C3 + A4 = A1 + A2 + A3 + A4
C5 = A5
C6 = C5 + A6 = A5 + A6
C7 = A7
C8 = C4 + C6 + C7 + A8 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8

我们从中可以发现，其实Ci还有一种更加普适的定义，它表示的其实是一段原数组A的连续区间和。

树状数组(Binary Indexed Tree(B.I.T), Fenwick Tree)作为一个查询和修改复杂度都为 $O(logn)$的数据结构。下面我们就看一下这两个操作的具体实现：

求和操作

查询 $[l, r]$的和，即为 $sum(r)-sum(l-1)$

int sum(int x){
	int s = 0;
	for(int i=x;i;i-=lowbit(i))
		s += c[i];
	return s;
}

更新操作

void add(int x, int v){
	for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)) 
		c[i] += v;
}

lowbit函数实现

int lowbit(int x){
	return x&(-x);
}

1.1 PUIQ模型

单点更新，区域查询（标准的树状数组）

• HDU 1166 - 敌兵布阵
• POJ 3321 - Apple Tree（将图转换为树状数组）

1.2 降维

• HDU 1541 - Stars

1.3 二分模型

• POJ 2892 - Tunnel Warfare

1.1 Reference

• 夜深人静写算法（三）- 树状数组
• 树状数组简单易懂的详解
• 树状数组的原理与实现
• 掌握树状数组~彻底入门