一、前言
本篇文章将会讲解CART算法的实现和树的剪枝方法，通过测试不同的数据集，学习CART算法和树剪枝技术。
二、将CART（Classification And Regression Trees）算法用于回归
在之前的文章，我们学习了决策树的原理和代码实现，使用使用决策树进行分类。决策树不断将数据切分成小数据集（根据每个特征的值切分数据集来计算信息增益），直到所有目标标量完全相同，或者数据不能再切分为止。决策树是一种贪心算法，它要在给定时间内做出最佳选择，但不关心能否达到全局最优。
1、ID3算法的弊端
回忆一下，决策树的树构建算法是ID3。ID3的做法是每次选取当前最佳的特征来分割数据，并按照该特征的所有可能取值来切分。也就是说，如果一个特征有4种取值，那么数据将被切分成4份。一旦按某特征切分后，该特征在之后的算法执行过程中将不会再起作用，所以有观点认为这种切分方式过于迅速。
除了切分过于迅速外，ID3算法还存在另一个问题，它不能直接处理连续型特征。只有事先将连续型特征离散化，才能在ID3算法中使用。但这种转换过程会破坏连续型变量的内在特性。
2、CART算法
与ID3算法相反，CART算法正好适用于连续型特征。CART算法使用二元切分法来处理连续型变量。而使用二元切分法则易于对树构建过程进行调整以处理连续型特征。具体的处理方法是：如果特征值大于给定值就走左子树，否则就走右子树。
CART算法有两步：
- 决策树生成：递归地构建二叉决策树的过程，基于训练数据集生成决策树，生成的决策树要尽量大；自上而下从根开始建立节点，在每个节点处要选择一个最好的属性来分裂，使得子节点中的训练集尽量的纯。不同的算法使用不同的指标来定义"最好"：
- 决策树剪枝：用验证数据集对已生成的树进行剪枝并选择最优子树，这时损失函数最小作为剪枝的标准。
决策树剪枝我们先不管，我们看下决策树生成。
在决策树的文章中，我们先根据信息熵的计算找到最佳特征切分数据集构建决策树。CART算法的决策树生成也是如此，实现过程如下：
- 使用CART算法选择特征
- 根据特征切分数据集合
- 构建树
3、根据特征切分数据集合
我们先找软柿子捏，CART算法这里涉及到算法，实现起来复杂些，我们先挑个简单的，即根据特征切分数据集合。编写代码如下：
import numpy as np
def binSplitDataSet(dataSet, feature, value):
"""
:param dataSet: 训练集
:param feature: 特征索引 1
:param value: 特征值 0.5
:return: mat0, mat1 切分的数据集
"""
mat0 = dataSet[np.nonzero(dataSet[:, feature] > value)[0], :] # [:] 列表切片 索引从0开始 包括开始不包括结束 [:1] 表示训练集的第一列；[1,:]表示训练集的第2行
mat1 = dataSet[np.nonzero(dataSet[:, feature] <= value)[0], :] # np.nonzero：返回数组中不为0的元素的下标。数组中元素可为布尔、整型和浮点型，返回值为元祖
return mat0, mat1
if __name__ == '__main__':
testMat = np.mat(np.eye(4)) # 使用 eye(n) 创建一个n行n列的单位矩阵
'''
[[1. 0. 0. 0.]
[0. 1. 0. 0.]
[0. 0. 1. 0.]
[0. 0. 0. 1.]]
'''
mat0, mat1 = binSplitDataSet(testMat, 1, 0.5)
print('原始集合:\n', testMat)
print('mat0:\n', mat0)
print('mat1:\n', mat1)
运行结果如下图所示：
我们先创建一个单位矩阵，然后根据切分规则，对数据矩阵进行切分。可以看到binSplitDataSet函数根据特定规则，对数据矩阵进行切分。
现在OK了，我们已经可以根据特征和特征值对数据进行切分了，mat0存放的是第一个特征大于指定特征值的矩阵，mat1存放的是小于指定特征值的矩阵。接下来，我们就看看如何使用CART算法选择最佳分类特征。
4、CART算法
假设X与Y分别为输入和输出变量，并且Y是连续变量，给定训练数据集：
其中，D表示整个数据集合，n为特征数。
一个回归树对应着输入空间（即特征空间）的一个划分以及在划分的单元上的输出值。假设已将输入空间划分为M个单元R1,R2,...Rm，并且在每个单元Rm上有一个固定的输出值Cm，于是回归树模型可表示为
这样就可以计算模型输出值与实际值的误差：
我们希望每个单元上的Cm，可以是的这个平方误差最小化。易知，当Cm为相应单元的所有实际值的均值时，可以到最优：
那么如何生成这些单元划分？
假设，我们选择变量 xj 为切分变量，它的取值 s 为切分点，那么就会得到两个区域：
当j和s固定时，我们要找到两个区域的代表值c1，c2使各自区间上的平方差最小：
前面已经知道c1，c2为区间上的平均：
那么对固定的 j 只需要找到最优的s，然后通过遍历所有的变量，我们可以找到最优的j，这样我们就可以得到最优对（j，s），并得到两个区间。
这样的回归树通常称为最小二乘回归树（least squares regression tree）。
上述过程表示的算法步骤为：
除此之外，我们再定义两个参数，tolS和tolN，分别用于控制误差变化限制和切分特征最少样本数。这两个参数的意义是什么呢？就是防止过拟合，提前设置终止条件，实际上是在进行一种所谓的预剪枝（prepruning）操作，在下一小节会进行进一步讲解。
老规矩，先看下我们的测试数据集。
数据集下载地址：数据集下载
如上图所示，数据是2维的。先看下数据的分布情况，编写代码如下：
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def loadDataSet(fileName):
dataMat=[]
fr=open(fileName)
for line in fr.readlines():
curLine=line.strip().split('\t')
fltLine=list(map(float,curLine))
dataMat.append(fltLine)
return dataMat
def plotDataSet(filename):
dataMat=loadDataSet(filename)
n=len(dataMat)
xcord=[]
ycord=[]
for i in range(n):
xcord.append(dataMat[i][0])
ycord.append(dataMat[i][1])
fig=plt.figure()
ax=fig.add_subplot(111)
ax.scatter(xcord, ycord, s = 20, c = 'blue',alpha = .5)
plt.title('DataSet') # 绘制title
plt.xlabel('X')
plt.show()
if __name__ == '__main__':
filename = './data/ex00.txt'
plotDataSet(filename)运行结果如下图所示：
可以看到，这是一个很简单的数据集，我们先利用这个数据集测试我们的CART算法。
现在，编写代码如下：
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def loadDataSet(fileName):
"""
函数说明:加载数据
Parameters:
fileName - 文件名
Returns:
dataMat - 数据矩阵
"""
dataMat=[]
fr=open(fileName)
for line in fr.readlines():
curLine=line.strip().split('\t')
fltLine=list(map(float,curLine))
dataMat.append(fltLine)
return dataMat
def regLeaf(dataSet):
"""
函数说明:生成叶结点
Parameters:
dataSet - 数据集合
Returns:
目标变量的均值
"""
return np.mean(dataSet[:,-1])
def regErr(dataSet):
"""
函数说明:误差估计函数
Parameters:
dataSet - 数据集合
Returns:
目标变量的总方差
"""
return np.var(dataSet[:,-1]) * np.shape(dataSet)[0]
def binSplitDataSet(dataSet, feature, value):
"""
:param dataSet: 训练集
:param feature: 特征索引 1
:param value: 特征值 0.5
:return: mat0, mat1 切分的数据集
"""
mat0 = dataSet[np.nonzero(dataSet[:, feature] > value)[0], :] # [:] 列表切片 索引从0开始 包括开始不包括结束 [:1] 表示训练集的第一列；[1,:]表示训练集的第2行
mat1 = dataSet[np.nonzero(dataSet[:, feature] <= value)[0], :] # np.nonzero：返回数组中不为0的元素的下标。数组中元素可为布尔、整型和浮点型，返回值为元祖
return mat0, mat1
def chooseBestSplit(dataSet,leafType=regLeaf,errType=regErr,ops=(1,4)):
"""
函数说明:找到数据的最佳二元切分方式函数
Parameters:
dataSet - 数据集合
leafType - 生成叶结点
regErr - 误差估计函数
ops - 用户定义的参数构成的元组
Returns:
bestIndex - 最佳切分特征
bestValue - 最佳特征值
"""
# tolS允许的误差下降值,tolN切分的最少样本数
tolS=ops[0]
tolN=ops[1]
# 如果当前样本所有标签值相等,则退出。(根据set的特性)
if len(set(dataSet[:,-1].T.tolist()[0])) == 1:
return None,leafType(dataSet)
# 统计数据集合的行m和列n
m,n=np.shape(dataSet) # 200 x 2
#默认最后一个特征为最佳切分特征,计算其误差估计
S=errType(dataSet)
#分别为最佳误差,最佳特征切分的索引值,最佳特征值
bestS=float('inf')# 正无穷
bestInfo=0
bestValue=0
#遍历所有特征列
for featIndex in range(n-1):
#遍历所有特征值
for splitVal in set(dataSet[:,featIndex].T.A.tolist()[0]):
#根据特征和特征值切分数据集
mat0, mat1 = binSplitDataSet(dataSet, featIndex, splitVal)
#如果数据少于tolN,则退出
if (np.shape(mat0)[0] < tolN) or (np.shape(mat1)[0] < tolN): continue
#计算误差估计
newS = errType(mat0) + errType(mat1)
#如果误差估计更小,则更新特征索引值和特征值
if newS < bestS:
bestIndex = featIndex
bestValue = splitVal
bestS = newS
#如果误差减少不大则退出
if (S - bestS) < tolS:
return None, leafType(dataSet)
#根据最佳的切分特征和特征值切分数据集合
mat0, mat1 = binSplitDataSet(dataSet, bestIndex, bestValue)
#如果切分出的数据集很小则退出
if (np.shape(mat0)[0] < tolN) or (np.shape(mat1)[0] < tolN):
return None, leafType(dataSet)
#返回最佳切分特征和特征值
return bestIndex, bestValue
if __name__ == '__main__':
filename = './data/ex00.txt'
# plotDataSet(filename)
myDat = loadDataSet(filename)
myMat = np.mat(myDat)
feat, val = chooseBestSplit(myMat, regLeaf, regErr, (1, 4))
print(feat)
print(val)运行结果如下图所示：
可以看到，切分的最佳特征为第1列特征，最佳切分特征值为0.48813，这个特征值怎么选出来的？就是根据误差估计的大小，我们选择的这个特征值可以使误差最小化。
切分的特征和特征值我们已经选择好了，接下来就是利用选出的这两个变量创建回归树了。
创建方法很简单，我们根据切分的特征和特征值切分出两个数据集，然后将两个数据集分别用于左子树的构建和右子树的构建，直到无法找到切分的特征为止。因此，我们可以使用递归实现这个过程，编写代码如下：
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def loadDataSet(fileName):
"""
函数说明:加载数据
Parameters:
fileName - 文件名
Returns:
dataMat - 数据矩阵
"""
dataMat=[]
fr=open(fileName)
for line in fr.readlines():
curLine=line.strip().split('\t')
fltLine=list(map(float,curLine))
dataMat.append(fltLine)
return dataMat
def regLeaf(dataSet):
"""
函数说明:生成叶结点
Parameters:
dataSet - 数据集合
Returns:
目标变量的均值
"""
return np.mean(dataSet[:,-1])
def regErr(dataSet):
"""
函数说明:误差估计函数
Parameters:
dataSet - 数据集合
Returns:
目标变量的总方差
"""
return np.var(dataSet[:,-1]) * np.shape(dataSet)[0]
def binSplitDataSet(dataSet, feature, value):
"""
:param dataSet: 训练集
:param feature: 特征索引 1
:param value: 特征值 0.5
:return: mat0, mat1 切分的数据集
"""
mat0 = dataSet[np.nonzero(dataSet[:, feature] > value)[0], :] # [:] 列表切片 索引从0开始 包括开始不包括结束 [:1] 表示训练集的第一列；[1,:]表示训练集的第2行
mat1 = dataSet[np.nonzero(dataSet[:, feature] <= value)[0], :] # np.nonzero：返回数组中不为0的元素的下标。数组中元素可为布尔、整型和浮点型，返回值为元祖
return mat0, mat1
def chooseBestSplit(dataSet,leafType=regLeaf,errType=regErr,ops=(1,4)):
"""
函数说明:找到数据的最佳二元切分方式函数
Parameters:
dataSet - 数据集合
leafType - 生成叶结点
regErr - 误差估计函数
ops - 用户定义的参数构成的元组
Returns:
bestIndex - 最佳切分特征
bestValue - 最佳特征值
"""
# tolS允许的误差下降值,tolN切分的最少样本数
tolS=ops[0]
tolN=ops[1]
# 如果当前样本所有标签值相等,则退出。(根据set的特性)
if len(set(dataSet[:,-1].T.tolist()[0])) == 1:
return None,leafType(dataSet)
# 统计数据集合的行m和列n
m,n=np.shape(dataSet) # 200 x 2
#默认最后一个特征为最佳切分特征,计算其误差估计
S=errType(dataSet)
#分别为最佳误差,最佳特征切分的索引值,最佳特征值
bestS=float('inf')# 正无穷
bestInfo=0
bestValue=0
#遍历所有特征列
for featIndex in range(n-1):
#遍历所有特征值
for splitVal in set(dataSet[:,featIndex].T.A.tolist()[0]):
#根据特征和特征值切分数据集
mat0, mat1 = binSplitDataSet(dataSet, featIndex, splitVal)
#如果数据少于tolN,则退出
if (np.shape(mat0)[0] < tolN) or (np.shape(mat1)[0] < tolN): continue
#计算误差估计
newS = errType(mat0) + errType(mat1)
#如果误差估计更小,则更新特征索引值和特征值
if newS < bestS:
bestIndex = featIndex
bestValue = splitVal
bestS = newS
#如果误差减少不大则退出
if (S - bestS) < tolS:
return None, leafType(dataSet)
#根据最佳的切分特征和特征值切分数据集合
mat0, mat1 = binSplitDataSet(dataSet, bestIndex, bestValue)
#如果切分出的数据集很小则退出
if (np.shape(mat0)[0] < tolN) or (np.shape(mat1)[0] < tolN):
return None, leafType(dataSet)
#返回最佳切分特征和特征值
return bestIndex, bestValue
def createTree(dataSet, leafType = regLeaf, errType = regErr, ops = (1, 4)):
"""
函数说明:树构建函数
Parameters:
dataSet - 数据集合
leafType - 建立叶结点的函数
errType - 误差计算函数
ops - 包含树构建所有其他参数的元组
Returns:
retTree - 构建的回归树
"""
#选择最佳切分特征和特征值
feat, val = chooseBestSplit(dataSet, leafType, errType, ops)
#r如果没有特征,则返回特征值
if feat == None: return val
#回归树
retTree = {}
retTree['spInd'] = feat
retTree['spVal'] = val
#分成左数据集和右数据集
lSet, rSet = binSplitDataSet(dataSet, feat, val)
#创建左子树和右子树
retTree['left'] = createTree(lSet, leafType, errType, ops)
retTree['right'] = createTree(rSet, leafType, errType, ops)
return retTree
if __name__ == '__main__':
filename = './data/ex00.txt'
myDat = loadDataSet(filename)
myMat = np.mat(myDat)
print(createTree(myMat))
运行结果如下图所示：
从上图可知，这棵树只有两个叶结点。
我们换一个复杂一点的数据集，分段常数数据集。
数据集下载地址：数据集下载
先看下数据：
第一列的数据都是1.0，为了可视化方便，我们将第2列作为x轴数据，第3列作为y轴数据。对数据进行可视化，编写代码如下：
# -*- coding:utf-8 -*-
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
def loadDataSet(fileName):
"""
函数说明:加载数据
Parameters:
fileName - 文件名
Returns:
dataMat - 数据矩阵
"""
dataMat = []
fr = open(fileName)
for line in fr.readlines():
curLine = line.strip().split('\t')
fltLine = list(map(float, curLine)) # 转化为float类型
dataMat.append(fltLine)
return dataMat
def plotDataSet(filename):
"""
函数说明:绘制数据集
Parameters:
filename - 文件名
Returns:
无
"""
dataMat = loadDataSet(filename) # 加载数据集
n = len(dataMat) # 数据个数
xcord = [];
ycord = [] # 样本点
for i in range(n):
xcord.append(dataMat[i][1]);
ycord.append(dataMat[i][2]) # 样本点
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111) # 添加subplot
ax.scatter(xcord, ycord, s=20, c='blue', alpha=.5) # 绘制样本点
plt.title('DataSet') # 绘制title
plt.xlabel('X')
plt.show()
if __name__ == '__main__':
filename = './data/ex0.txt'
plotDataSet(filename)
运行结果如图下所示：
可以看到，这个数据集是分段的。我们针对此数据集创建回归树。代码同上，运行结果如下图所示：
可以看到，该数的结构中包含5个叶结点。
现在为止，已经完成回归树的构建，但是需要某种措施来检查构建过程是否得当。这个技术就是剪枝（tree pruning）技术。
三、树剪枝
一棵树如果结点过多，表明该模型可能对数据进行了“过拟合”。
通过降低树的复杂度来避免过拟合的过程称为剪枝（pruning）。上小节我们也已经提到，设置tolS和tolN就是一种预剪枝操作。另一种形式的剪枝需要使用测试集和训练集，称作后剪枝（postpruning）。本节将分析后剪枝的有效性，但首先来看一下预剪枝的不足之处。
1、预剪枝
预剪枝有一定的局限性，比如我们现在使用一个新的数据集。
数据集下载地址：数据集下载
用上述代码绘制数据集看一下：
可以看到，对于这个数据集与我们使用的第一个数据集很相似，但是区别在于y的数量级差100倍，数据分布相似，因此构建出的树应该也是只有两个叶结点。但是我们使用默认tolS和tolN参数创建树，你会发现运行结果如下所示：
可以看到，构建出的树有很多叶结点。产生这个现象的原因在于，停止条件tolS对误差的数量级十分敏感。如果在选项中花费时间并对上述误差容忍度取平均值，或许也能得到仅有两个叶结点组成的树：
可以看到，将参数tolS修改为10000后，构建的树就是只有两个叶结点。然而，显然这个值，需要我们经过不断测试得来，显然通过不断修改停止条件来得到合理结果并不是很好的办法。事实上，我们常常甚至不确定到底需要寻找什么样的结果。因为对于一个很多维度的数据集，你也不知道构建的树需要多少个叶结点。
可见，预剪枝有很大的局限性。接下来，我们讨论后剪枝，即利用测试集来对树进行剪枝。由于不需要用户指定参数，后剪枝是一个更理想化的剪枝方法。
2、后剪枝
使用后剪枝方法需要将数据集分成测试集和训练集。首先指定参数，使得构建出的树足够大、足够复杂，便于剪枝。接下来从上而下找到叶结点，用测试集来判断这些叶结点合并是否能降低测试集误差。如果是的话就合并。
为了演示后剪枝，我们使用ex2.txt文件作为训练集，而使用的新数据集ex2test.txt文件作为测试集。
测试集下载地址：数据集下载
现在我们使用ex2.txt训练回归树，然后利用ex2test.txt对回归树进行剪枝。我们需要创建三个函数isTree()、getMean()、prune()。其中isTree()用于测试输入变量是否是一棵树，返回布尔类型的结果。换句话说，该函数用于判断当前处理的结点是否是叶结点。第二个函数getMean()是一个递归函数，它从上往下遍历树直到叶结点为止。如果找到两个叶结点则计算它们的平均值。该函数对树进行塌陷处理（即返回树平均值）。而第三个函数prune()则为后剪枝函数。编写代码如下：
# -*- coding:utf-8 -*-
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
def loadDataSet(fileName):
"""
函数说明:加载数据
Parameters:
fileName - 文件名
Returns:
dataMat - 数据矩阵
"""
dataMat = []
fr = open(fileName)
for line in fr.readlines():
curLine = line.strip().split('\t')
fltLine = list(map(float, curLine)) # 转化为float类型
dataMat.append(fltLine)
return dataMat
def plotDataSet(filename):
"""
函数说明:绘制数据集
Parameters:
filename - 文件名
Returns:
无
"""
dataMat = loadDataSet(filename) # 加载数据集
n = len(dataMat) # 数据个数
xcord = [];
ycord = [] # 样本点
for i in range(n):
xcord.append(dataMat[i][0]);
ycord.append(dataMat[i][1]) # 样本点
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111) # 添加subplot
ax.scatter(xcord, ycord, s=20, c='blue', alpha=.5) # 绘制样本点
plt.title('DataSet') # 绘制title
plt.xlabel('X')
plt.show()
def binSplitDataSet(dataSet, feature, value):
"""
函数说明:根据特征切分数据集合
Parameters:
dataSet - 数据集合
feature - 带切分的特征
value - 该特征的值
Returns:
mat0 - 切分的数据集合0
mat1 - 切分的数据集合1
"""
mat0 = dataSet[np.nonzero(dataSet[:, feature] > value)[0], :]
mat1 = dataSet[np.nonzero(dataSet[:, feature] <= value)[0], :]
return mat0, mat1
def regLeaf(dataSet):
"""
函数说明:生成叶结点
Parameters:
dataSet - 数据集合
Returns:
目标变量的均值
"""
return np.mean(dataSet[:, -1])
def regErr(dataSet):
"""
函数说明:误差估计函数
Parameters:
dataSet - 数据集合
Returns:
目标变量的总方差
"""
return np.var(dataSet[:, -1]) * np.shape(dataSet)[0]
def chooseBestSplit(dataSet, leafType=regLeaf, errType=regErr, ops=(1, 4)):
"""
函数说明:找到数据的最佳二元切分方式函数
Parameters:
dataSet - 数据集合
leafType - 生成叶结点
regErr - 误差估计函数
ops - 用户定义的参数构成的元组
Returns:
bestIndex - 最佳切分特征
bestValue - 最佳特征值
"""
import types
# tolS允许的误差下降值,tolN切分的最少样本数
tolS = ops[0];
tolN = ops[1]
# 如果当前所有值相等,则退出。(根据set的特性)
if len(set(dataSet[:, -1].T.tolist()[0])) == 1:
return None, leafType(dataSet)
# 统计数据集合的行m和列n
m, n = np.shape(dataSet)
# 默认最后一个特征为最佳切分特征,计算其误差估计
S = errType(dataSet)
# 分别为最佳误差,最佳特征切分的索引值,最佳特征值
bestS = float('inf')
bestIndex = 0
bestValue = 0
# 遍历所有特征列
for featIndex in range(n - 1):
# 遍历所有特征值
for splitVal in set(dataSet[:, featIndex].T.A.tolist()[0]):
# 根据特征和特征值切分数据集
mat0, mat1 = binSplitDataSet(dataSet, featIndex, splitVal)
# 如果数据少于tolN,则退出
if (np.shape(mat0)[0] < tolN) or (np.shape(mat1)[0] < tolN): continue
# 计算误差估计
newS = errType(mat0) + errType(mat1)
# 如果误差估计更小,则更新特征索引值和特征值
if newS < bestS:
bestIndex = featIndex
bestValue = splitVal
bestS = newS
# 如果误差减少不大则退出
if (S - bestS) < tolS:
return None, leafType(dataSet)
# 根据最佳的切分特征和特征值切分数据集合
mat0, mat1 = binSplitDataSet(dataSet, bestIndex, bestValue)
# 如果切分出的数据集很小则退出
if (np.shape(mat0)[0] < tolN) or (np.shape(mat1)[0] < tolN):
return None, leafType(dataSet)
# 返回最佳切分特征和特征值
return bestIndex, bestValue
def createTree(dataSet, leafType=regLeaf, errType=regErr, ops=(1, 4)):
"""
函数说明:树构建函数
Parameters:
dataSet - 数据集合
leafType - 建立叶结点的函数
errType - 误差计算函数
ops - 包含树构建所有其他参数的元组
Returns:
retTree - 构建的回归树
"""
# 选择最佳切分特征和特征值
feat, val = chooseBestSplit(dataSet, leafType, errType, ops)
# r如果没有特征,则返回特征值
if feat == None: return val
# 回归树
retTree = {}
retTree['spInd'] = feat
retTree['spVal'] = val
# 分成左数据集和右数据集
lSet, rSet = binSplitDataSet(dataSet, feat, val)
# 创建左子树和右子树
retTree['left'] = createTree(lSet, leafType, errType, ops)
retTree['right'] = createTree(rSet, leafType, errType, ops)
return retTree
def isTree(obj):
"""
函数说明:判断测试输入变量是否是一棵树
Parameters:
obj - 测试对象
Returns:
是否是一棵树
"""
import types
return (type(obj).__name__ == 'dict')
def getMean(tree):
"""
函数说明:对树进行塌陷处理(即返回树平均值)
Parameters:
tree - 树
Returns:
树的平均值
"""
if isTree(tree['right']): tree['right'] = getMean(tree['right'])
if isTree(tree['left']): tree['left'] = getMean(tree['left'])
return (tree['left'] + tree['right']) / 2.0
def prune(tree, testData):
"""
函数说明:后剪枝
Parameters:
tree - 树
test - 测试集
Returns:
树的平均值
"""
# 如果测试集为空,则对树进行塌陷处理
if np.shape(testData)[0] == 0: return getMean(tree)
# 如果有左子树或者右子树,则切分数据集
if (isTree(tree['right']) or isTree(tree['left'])):
lSet, rSet = binSplitDataSet(testData, tree['spInd'], tree['spVal'])
# 处理左子树(剪枝)
if isTree(tree['left']): tree['left'] = prune(tree['left'], lSet)
# 处理右子树(剪枝)
if isTree(tree['right']): tree['right'] = prune(tree['right'], rSet)
# 如果当前结点的左右结点为叶结点
if not isTree(tree['left']) and not isTree(tree['right']):
lSet, rSet = binSplitDataSet(testData, tree['spInd'], tree['spVal'])
# 计算没有合并的误差
errorNoMerge = np.sum(np.power(lSet[:, -1] - tree['left'], 2)) + np.sum(
np.power(rSet[:, -1] - tree['right'], 2))
# 计算合并的均值
treeMean = (tree['left'] + tree['right']) / 2.0
# 计算合并的误差
errorMerge = np.sum(np.power(testData[:, -1] - treeMean, 2))
# 如果合并的误差小于没有合并的误差,则合并
if errorMerge < errorNoMerge:
return treeMean
else:
return tree
else:
return tree
if __name__ == '__main__':
# 训练决策树
train_filename = './data/ex2.txt'
train_Data = loadDataSet(train_filename)
train_Mat = np.mat(train_Data)
tree = createTree(train_Mat)
print(tree)
# 决策树后剪枝
test_filename = './data/ex2test.txt'
test_Data = loadDataSet(test_filename)
test_Mat = np.mat(test_Data)
print(prune(tree, test_Mat))
运行结果如下如所示：
可以看到，树的大量结点已经被剪枝掉了，但没有像预期的那样剪枝成两部分，这说明后剪枝可能不如预剪枝有效。一般地，为了寻求最佳模型可以同时使用两种剪枝技术。
现在，可能你会问了，这叶结点只是简单的数值。这也没有拟合数据啊？回归树到底啥样啊？别急，下篇文章继续讲解。
四、总结
- CART算法可以用于构建二元树并处理离散型或连续型数据的切分。若使用不同的误差准则，就可以通过CART算法构建模型树和回归树。
- 一颗过拟合的树常常十分复杂，剪枝技术的出现就是为了解决这个问题。两种剪枝方法分别是预剪枝和后剪枝，预剪枝更有效但需要用户定义一些参数。
- 下篇文章将继续讲解回归树。
