学习笔记
学习书目：《蝴蝶效应之谜：走近分形与混沌 》-张天蓉；
洛伦茨的迷惑
爱德华·洛伦茨（1917—2008）是一位在美国麻省理工学院做气象研究的科学家。在一次模拟大气流的实验中，它无意中把两组差别很小的数据(比如：0.000127)分别输入计算机程序中，却得到了千差万别的结果。对此，他疑惑不解。难道如此细小的差别，真的能导致最后结果有如此大的不同吗？下图显示的是洛伦茨气象预报的两组结果(实线和虚线分别是洛伦茨的两次计算过程)：
洛伦茨发现，初始值的微小变化，会随着时间增加而被指数放大。
那么如果初始值稍稍变化，就使得结果大相径庭的话，这样的预报还有实际意义吗？
洛伦茨吸引子图
这两次计算结果千差万别，使洛伦茨觉得自己在气象预报工作中似乎显得山穷水尽、无能为力。为了走出困境，他继续深究下去。
洛伦茨以他非凡的抽象思维能力，将气象预报模型里的上百个参数和方程，简化到如下一个仅由三个变量及时间系数完全决定的微分方程组(这3个方程组成一个方程组)：
这个方程组中的 ，并非任何运动粒子在三维空间的坐标，而是三个变量。这三个变量由气象预报中的诸多物理量，如流速、温度、压力等简化而来。方程(2)中的R在流体力学中叫做瑞利数,与流体的浮力及黏滞度等性质有关。瑞利数的大小对洛伦茨系统中混沌现象的产生至关重要.
这是一个不能用解析方法求解的非线性方程组，洛伦茨设瑞利数R＝28，然后利用计算机进行反复迭代，即首先从初始时刻 的一组数值 ，计算出下一个时刻它们的数值 ，再算出下一个时刻的 ……如此不断地进行下去。将逐次得到的x、y、z瞬时值，画在三维坐标空间中，这便描绘出了奇妙而复杂的洛伦茨吸引子图:
那么问题来了，啥是吸引子?
吸引子
要弄清楚吸引子是啥的问题，我们得先明白"系统"这个概念。
什么是系统呢？
简单地说，系统是一种数学模型。是一种用以描述自然界及社会中各类事件的，由一些变量及数个方程构成的一种数学模型。世界上的事物尽管千变万化，繁杂纷纭，但在数学家们的眼中，在一定的条件下，都不外乎是由几个变量和这些变量之间的关系组成的系统。
由系统性质之不同，又有了诸如决定性的系统、随机系统、封闭系统、开放系统、线性系统、非线性系统、稳定系统、简单系统、复杂系统等一类的名词。
无论是何种系统，大多数的情形下，我们感兴趣的是系统对时间的变化，称其为动力系统研究。这是理所当然的，谁会去管那种固定不变的系统呢？
一个系统中的所有独立变量构成的空间叫做系统的相空间。相空间中的一个点，确定了系统的一个状态，对应于一组给定的独立变量值。研究状态点随着时间在空间中的运动情形，则可以看出系统对时间的变化趋势，以观察混沌理论中动力系统的长期行为。
状态点在相空间中运动，最后趋向的极限图形，就叫做该系统的吸引子。换句通俗的话说，吸引子就是一个系统的最后归属。
例如：一个被掷出的铅球，在空中飞了一会，就掉到地上，又在地上滚了一会，最后静止在地上，如果没有其他意外发生，静止不动就是他最后的归属。因此，这段铅球运动的吸引子，是它的相空间中的一个固定的点。
又如：两种颜色的墨水被混合在一起，它们经过一段时间的扩散，互相渗透，最后趋于一种均匀混合的动态平衡状态，如果不考虑分子的布朗运动，这个系统的最后归属(吸引子)，也应该是相空间的一个固定点。
在发现混沌现象之前，吸引子的形状可归纳为如下图所示的3种经典吸引子，也称正常吸引子：
第一种是稳定点吸引子，这种系统最后收敛于一个固定不变的状态；第二种叫极限环吸引子，这种系统的状态趋于稳定振动，比如天体的轨道运动；第三种是极限环面吸引子，这是一种似稳状态。一般来说，对应于系统的方程的解的经典吸引子是相空间中一个整数维的子空间。例如：固定点是一个零维空间；极限环是一个一维空间；而面包圈形状的极限环面吸引子则是一个二维空间。
总之，三种吸引子描述的自然现象还是相当规则的。这些是属于经典理论的吸引子，根据经典理论，初始值偏离一点点，结果也只会偏离一点点。因此，科学家甚至可以提前相当长的时间预测极复杂的系统的行为。这一点，是洛伦茨梦想进行长期气象预报工作的根据。
但是，当洛伦茨将方程(1)(2)(3)中 对时间变化的曲线画在3维空间中时，他发现他画出的洛伦茨吸引子图不能被归类到任何一种经典吸引子：
这是一个三维空间里的双重绕图，轨线看起来是在绕着两个中心点转圈，但又不是真正在转圈，因为它们虽然被限制在两翼的边界之内，但又绝不与自身相交。这意味着系统的状态永不重复，是非周期性的。也就是说，这个具有确定系数、确定方程、确定初始值的系统的解，是一个外表和整体上呈貌似规则而有序的两翼蝴蝶形态，而内在却包含了无序而随机的混沌过程的复杂结构。
当时，洛伦茨准确的将此现象表述为"确定性非周期流"。
