时间序列与R语言应用(part5)--移动平均MA模型及其可逆性

学习笔记

参考书目：《计量经济学》、《计量经济学模型与R语言应用》

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一阶移动平均过程

在研究 $q$阶移动平均过程之前，我们先以一阶移动平均过程开刀，即 $MA(1)$序列, 一阶移动平均模型表达式为：
$Y_t=e_t-\theta e_{t-1}\tag{1}$
其中 $e_t$和 $e_{t-1}$都是白噪声，显然， $E(Y_t)=0, Var(Y_t)=\sigma_e^2(1+\theta^2)$，此时有：
$Cov(Y_t,Y_{t-1})=Cov(e_t-\theta e_{t-1}, e_{t-1}-\theta e_{t-2})=-\theta Cov(e_{t-1}, e_{t-1})=-\theta \sigma_e^2\tag{2}$
和：
$Cov(Y_t,Y_{t-2})=Cov(e_t-\theta e_{t-1}, e_{t-2}-\theta e_{t-3})=0\tag{3}$

对于 $k\geq2, Cov(Y_t,Y_{t-k})=0$，即过程大于1阶滞后时，不存在自相关。

通过上面的信息，我们可以得到该 $MA(1)$过程的1阶自相关函数为：
$\rho_1=\frac{Cov(Y_t,Y_{t-1})}{Var(Y_t)}=\frac{-\theta}{1+\theta^2}\tag{4}$
显然，若存在：
$Y_t=e_t-\eta e_{t-1}\tag{5}$
其中 $\eta=1/\theta$，则有1阶自相关函数：
$\rho_1=\frac{-\eta}{1+\eta^2}=\frac{-1/\theta}{1+{1/\theta}^2}=\frac{-\theta}{1+\theta^2}\tag{6}$

通过这个结果，我们看到 $\theta$被 $1/\theta$代替时，自相关函数完全相同。

$q$阶移动平均过程

对于q阶移动平均过程:
$Y_t=e_t-\theta_1 e_{t-1}-\theta_2 e_{t-2}-...-\theta_q e_{t-q}\tag{7}$
其中, $e_t, e_{t-1}, e_{t-2}, ..., e_{t-q}$，都是白噪声，于是有：
$E(Y_t)=0 \\\gamma_0=Var(Y_t)=(1+\theta_1^2+...+\theta_q^2)\sigma_e^2 \\\gamma_1=Cov(Y_t,Y_{t-1})=(-\theta_1+\theta_1 \theta_2 +\theta_2 \theta_3 +...+ \theta_{q-1} \theta_q)\sigma_e^2 \\......\\\gamma_{q-1}=Cov(Y_t,Y_{t-q+1})=(-\theta_{q-1}+\theta_1 \theta_q)\sigma_e^2 \\\gamma_{q}=Cov(Y_t,Y_{t-q})=-\theta_q \sigma_e^2$
对于 $k>q, Cov(Y_t,Y_{t-k})=0$，即过程大于q阶滞后时，不存在自相关。则根据平稳性条件，有限阶的移动平均模型总是平稳的。

可逆性

根据上一个Blog的证明，自回归AR过程也可以被认为是一个无穷阶移动平均过程.但是由于某些原因，自回归表达式更便利。那么，移动平均模型可以被重新表示为自回归模型吗？

考虑 $MA(1)$模型：
$Y_t=e_t-\theta e_{t-1}\tag{8}$

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先把方程改写成 $e_t=Y_t+\theta e_{t-1}$，再递推可得：
$e_t=Y_t+\theta(Y_{t-1}+\theta e_{t-2})=Y_t + \theta Y_{t-1} + \theta^2 e_{t-2}$
若 $|\theta|<1$，我们可以对过去值无限重复以上的替代过程，得到表达式：
$e_t=Y_t + \theta Y_{t-1} + \theta^2 Y_{t-2} + ...$
或：
$Y_t=(-\theta Y_{t-1} - \theta^2 Y_{t-2} -...) + e_t$
若 $|\theta|<1$，我们可以看到 $MA(1)$过程可以逆转换成一个无穷阶的自回归模型，当且仅当 $|\theta|<1$，我们称 $MA(1)$可逆。

对于一般的 $MA(q)$模型，定义MA特征多项式为：
$\theta(x)=1-\theta_1 x -\theta_2 x^2 -...-\theta_q x^q$
和相应的MA特征方程：
$1-\theta_1 x -\theta_2 x^2 -...-\theta_q x^q=0$
可以证明 $MA(q)$模型可逆，当且仅当MA特征方程根的模大于1.

在 $MA(1)$过程中，我们看到 $\theta$被 $1/\theta$代替时，会得到完全一样的自相关函数 $\rho_1$。比如： $Y_t=e_t+2 e_{t-1}$和 $Y_t=e_t+0.5 e_{t-1}$有相同的自相关函数,但是只有第2个以特征根为-2的MA过程是可逆的。

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后记：本次Blog暂无R语言应用,本系列未完待续…困dog我了