时间序列是按时间顺序排列的、随时间变化且相互关联的数据序列。分析时间序列的方法构成数据分析的一个重要领域，即时间序列分析。

如果在预测时间范围以内，无突然变动且随机变动的方差较小，并且有理由认为过去和现在的演变趋势将继续发展到未来时，可用一些经验方法进行预测。

一、移动平均法

移动平均法有简单移动平均法，加权移动平均法，趋势移动平均法等。

1.1简单移动平均

设观测序列为 $y_{1},y_{2},...,y_{T}$ ,取移动的项数N<T，当预测目标的基本趋势是在某一水平上下波动时，可用一次简单移动平均方法建立预测模型：

实质是用最近 N 期序列值的平均值作为未来各期的预测结果。

其标准误差为

一般 N 取值范围： 5 ≤ N ≤ 200 。当历史序列的基本趋势变化不大且序列中随机变动成分较多时， N的取值应较大一些。否则 N 的取值应小一些。在有确定的季节变动周期的资料中，移动平均的项数应取周期长度。选择最佳 N 值的一个有效方法是，比较若干模型的预测误差。预测标准误差最小者为好

例题1 某企业 1 月～11 月份的销售收入时间序列如表 1 示。试用一次简单滑动平均法预测第 12 月份的销售收入。

解析

N=4时，预测公式为

预测值 $\hat{y}_{12}^{(1)}=993.6$ ,预测的标准误差为

N=5时，预测公式为

预测值 $\hat{y}_{12}^{(2)}=182.4$ ，预测的标准误差为

N = 4 时，预测的标准误差较小，所以选取 N = 4 。预测第12月份的销售收入为 993.6。

Matlab实现如下

clc,clear 
y=[533.8 574.6 606.9 649.8 705.1 772.0 816.4 892.7 963.9 1015.1 
1102.7]; 
m=length(y); 
n=[4,5]; %n 为移动平均的项数
for i=1:length(n) 
 %由于 n 的取值不同，yhat 的长度不一致，下面使用了细胞数组
 for j=1:m-n(i)+1 
 yhat{i}(j)=sum(y(j:j+n(i)-1))/n(i); 
 end 
 y12(i)=yhat{i}(end); 
 s(i)=sqrt(mean((y(n(i)+1:m)-yhat{i}(1:end-1)).^2)); 
end 
y12,s

注：简单移动平均法只适合做近期预测，而且是预测目标的发展趋势变化不大的情况。 如果目标的发展趋势存在其它的变化，采用简单移动平均法就会产生较大的预测偏差和滞后。

1.2 加权移动平均

在简单移动平均中，所选的近期数据在预测计算中所占比重是相同的，但是近期数据一般包含着关于未来的信息，因此给予更高的权重。类似于加权平均数。

设时间序列为 $y_{1},y_{2},...,y_{t},...$ ,加权移动平均公式为

$M_{tw}$ 为t 期加权移动平均数; $W_{i}$ 为 $y_{t-i+1}$ 的权数，它体现了相应的 $y_{t}$ 在加权平均数中的重要性。

利用加权移动平均数来做预测，其预测公式为

即以第t 期加权移动平均数作为第t +1期的预测值。

例题2 我国 1979～1988 年原煤产量如表 2 所示，试用加权移动平均法预测 1989 年的产量

解取 $W_{1}=3,W_{2}=2,W_{3}=1$ ,按预测公式

计算三年加权移动平均预测值，其结果列于表 2 中。1989 年我国原煤产量的预测值为（亿吨）

该预测值明显偏低，所以我们用平均相对误差进行修正，其方法是：先计算各年预测值与实际值的相对误差，例如 1982 年为

Matlab实现如下

y=[6.35 6.20 6.22 6.66 7.15 7.89 8.72 8.94 9.28 
9.8];
w=[1/6;2/6;3/6];
m=length(y);n=3;
for i=1:m-n+1
 yhat(i)=y(i:i+n-1)*w;
end
yhat
err=abs(y(n+1:m)-yhat(1:end-1))./y(n+1:m)
T_err=1-sum(yhat(1:end-1))/sum(y(n+1:m))
y1989=yhat(end)/(1-T_err)

注：在加权移动平均法中， $W_{t}$ 的选择，同样具有一定的经验性。一般的原则是：近期数据的权数大，远期数据的权数小。至于大到什么程度和小到什么程度，则需要按照预测者对序列的了解和分析来确定

1.3趋势移动平均

简单移动平均法和加权移动平均法，在时间序列没有明显的趋势变动时，能够准确反映实际情况。但当时间序列出现直线增加或减少的变动趋势时，用简单移动平均法和加权移动平均法来预测就会出现滞后偏差。因此，需要进行修正，修正的方法是作二次移动平均，利用移动平均滞后偏差的规律来建立直线趋势的预测模型。这就是趋势移动平均法。

一次移动的平均数为

在一次移动平均的基础上再进行一次移动平均就是二次移动平均，其计算公式为

设时间序列 ${y_{t}}$ 从某时期开始具有直线趋势，且认为未来时期也按此直线趋势变化，则可设此直线趋势预测模型为

其中t 为当前时期数；m 为由t 至预测期的时期数； $a_{t}$ 为截距； $b_{t}$ 为斜率。两者又称为平滑系数。

根据移动平均值来确定平滑系数

例题3 我国1965～1985 年的发电总量如表 3 所示，试预测 1986 年和 1987 年的发电总量。

解先做出原数据的散点图图1

由散点图 1 可以看出，发电总量基本呈直线上升趋势，可用趋势移动平均法来预测。

取 N = 6 ，分别计算一次和二次移动平均值并列于表 3 中。

再由公式得

于是，得t = 21时直线趋势预测模型为

预测 1986 年和1987 年的发电总量为

Matlab实现

clc,clear 
load y.txt %把原始数据保存在纯文本文件 y.txt 中
m1=length(y); 
n=6; %n 为移动平均的项数
for i=1:m1-n+1 
 yhat1(i)=sum(y(i:i+n-1))/n; 
end 
yhat1 
m2=length(yhat1); 
for i=1:m2-n+1 
 yhat2(i)=sum(yhat1(i:i+n-1))/n; 
end 
yhat2 
plot(1:21,y,'*') 
a21=2*yhat1(end)-yhat2(end) 
b21=2*(yhat1(end)-yhat2(end))/(n-1) 
y1986=a21+b21 
y1987=a21+2*b21

时间序列分析--移动平均法预测模型

一、移动平均法

1.1简单移动平均

1.2 加权移动平均

1.3趋势移动平均

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