【编译原理】第二章 语言及其文法

2.1 基本概念

1、串

（1）基本概念

串是一个有穷符号（symbol）序列
串s的长度，通常记作|s|，是指s中符号的个数
空串（empty string）是长度为0的串，用 ε（epsilon）表示：|ε|= 0

（2）基本运算

如果x和y是串，那么x和y的连接(concatenation)，是把y附加到x后面而形成的串，记作xy
注意：εs = sε = s
幂运算：s⁰= ε ， sn= s^n-1s, n ≥1

2、字母表

（1）基本概念

字母表∑是一个有穷符号集合，例如：
➢二进制字母表：{ 0,1 }
➢ASCII字符集
➢Unicode字符集

（2）基本运算

字母表∑1和∑2的乘积( product)即∑1∑2 ={ab|a ∈ ∑1, b ∈ ∑2}
字母表∑的n次幂( power) ∑0 ={ ε } ∑n=∑n-1 ∑, n ≥ 1，长度为n的符号串构成的集合
字母表∑的正闭包( positive closure) ∑+ = ∑ ∪ ∑2 ∪ ∑3 ∪ … ，长度正数的符号串构成的集合
字母表∑的克林闭包(Kleene closure) ∑*= ∑0 ∪ ∑+ = ∑0 ∪ ∑ ∪ ∑2 ∪ ∑3 ∪ … ，任意符号串（长度可以为零）构成的集合

2.2 文法的定义

文法的形式化定义

G = (V_T , V_N , P , S )
V_T：终结符集合
终结符（terminal symbol）是文法所定义的语言的基本 符号，有时也称为token，例: V_T= { apple, boy, eat, little }
V_N：非终结符集合
非终结符(nonterminal) 是用来表示语法成分的符号， 有时也称为“语法变量” ，例: VN= { <句子>, <名词短语>, <动词短语>, <名 词>, … }
P ：产生式集合
产生式( production)描述了将终结符和非终结符组合成串的方法 产生式的一般形式： α→β（α定义为β）
α∈(VT∪VN)+，且α中至少包含一个VN中的元素：称为产生式的头 (head)或左部(left side)
β∈(VT∪VN)* ：称为产生式的体(body)或右部(right side)
S ：开始符号
S∈V_N。开始符号(start symbol)表示的是该文法中最大的语法成分，例：S = <句子>

产生式的简写

对一组有相同左部的α产生式,可以简记为：α→β1 | β2 | … | βn （α定义为β1，或者β2，…，或者βn ）

符号约定

• 下述符号是终结符
  ➢(a) 字母表中排在前面的小写字母，如 a 、 b 、 c
  ➢(b) 运算符，如+、*等
  ➢© 标点符号，如括号、逗号等
  ➢(d) 数字0、1、. . . 、9
  ➢(e) 粗体字符串，如id、if等
• 下述符号是非终结符
  ➢(a) 字母表中排在前面的大写字母，如A 、 B 、 C
  ➢(b) 字母S。通常表示开始符号
  ➢© 小写、斜体的名字，如 expr、stmt等
  ➢(d) 代表程序构造的大写字母。如E(表达式) 、 T(项) 和F(因子)
• 字母表中排在后面的大写字母（如X、Y、Z） 表示文法符号（即终结符或非终结符）
• 字母表中排在后面的小写字母（主要是u、v、. . . 、z） 表示终结符号串（包括空串）
• 小写希腊字母，如α、β、γ，表示文法符号串（包括空串）
• 除非特别说明，第一个产生式的左部就是开始符号

2.3 语言的定义

有了文法（语言规则），如何判定一个词串是否是满足文法的句子？

1、推导和规约

给定文法G=(VT , VN , P , S )，如果 α→β ∈ P，那么 可以将符号串γαδ中的α替换为β，也就是说，将γαδ 重写(rewrite)为γβδ，记作 γαδ =>γβδ。此时，称文法 中的符号串 γαδ 直接推导(directly derive)出 γβδ
简而言之，就是用产生式的右部替换产生式的左部
α =>⁰ α
=>⁺ 表示“经过正数步推导”
=>^* 表示“经过若干（可以是0）步推导”

有了文法（语言规则），如何判定某一词串是否是该语言的句子？

• 句子的推导（派生）-从生成语言的角度
• 句子的归约 -从识别语言的角度

2、句型和句子

如果 S=>^* α，α∈(VT∪VN)，则称α是G的一个句型
一个句型中既可以包含终结符，又可以包含非终结符，也可能是空串
如果 S=>^* w，w ∈VT，则称w是G的一个句子，句子是不包含非终结符的句型

3、语言的形式化定义

由文法G的开始符号S推导出的所有句子构成的集合称为文法G生成的语言，记为L(G )。 即L(G )= {w | S =>* w,w∈ VT* }

4、语言上的运算

2.4 文法的分类

1、0型文法

无限制文法(Unrestricted Grammar) /短语结构文法
∀α → β∈P， α中至少包含1个非终结符
0型语言：由0型文法G生成的语言L(G )

2、1型文法

上下文有关文法
∀α → β∈P，｜α｜≤｜β｜
产生式的一般形式： α1Aα2 → α1βα2 ( β≠ε )
上下文有关语言（1型语言）：由上下文有关文法 (1型文法) G生成的语言L(G )，不包含ε-产生式

3、2型文法

上下文无关文法
∀α → β∈P，α ∈ V_N
产生式的一般形式：A→β
例：
S → L | LT
T → L | D | TL | TD
L → a | b | c | d |…| z
D → 0 | 1 | 2 | 3 |…| 9
上下文无关语言（2型语言）：由上下文无关文法 (2型文法) G生成的语言L(G )

4、3型文法

正则文法

• 右线性(Right Linear)文法： A→wB 或 A→w
• 左线性(Left Linear) 文法： A→Bw 或 A→w
• 左线性文法和右线性文法都称为正则文法

正则语言（3型语言）: 由正则文法 (3型文法) G生成的语言L(G )
正则文法能描述程序设计语言的多数单词

5、四种文法之间的关系

2.5 CFG的语法分析树

1、CFG 的分析树

根节点的标号为文法开始符号
内部结点表示对一个产生式A→β的应用，该结点的标号是此产生式左部 A 。该结点的子结点的标号从左到右构成了产生式的右部 β
叶结点的标号既可以是非终结符，也可以是终结符。从左到右排列叶节点得到的符号串称为是这棵树的产出(yield)或边缘(frontier)

2、分析树是推导的图形化表示

给定一个推导 S => α1=> α2=>…=> αn ，对于推导过程中得到的每一个句型αi，都可以构造出一个边缘为αi的分析树
推导过程：E=>-E => - ( E ) => - ( E+E ) => - ( id+E ) => - ( id+id )

3、（句型的）短语

给定一个句型，其分析树中的每一棵子树的边缘称为该句型的一个短语(phrase)
如果子树只有父子两代结点，那么这棵子树的边缘称为该句型的一个直接短语(immediate phrase)

例：

4、二义性文法

如果一个文法可以为某个句子生成多棵分析树，则称这个文法是二义性的

消歧规则：每个else和最近的尚未匹配的if匹配
二义性文法的判定：对于任意一个上下文无关文法，不存在一个算法，判定它是无二义性的；但能给出一组充分条件，满足这组充分条件的文法是无二义性的

• 满足，肯定无二义性
• 不满足，也未必就是有二义性的