【算法与数据结构】并查集 Disjoint Set

并查集（Disjoint Set）用来判断已有的数据是否构成环。

在构造图的最小生成树（Minimum Spanning Tree）时，如果采用 Kruskal 算法，每次添加最短路径前，需要先用并查集来判断一下这个路径是否会构成环。

思路

遍历图的每一条边，按照下面的原则将对应的两个顶点添加到集合中：

• 如果两个顶点都不属于任一集合，则创建新的集合，并将这两个顶点放入
• 如果两个顶点都已经属于某个集合，则已经构成环，退出
• 如果有一个顶点已经属于某个集合，则将另一个顶点也加入这个集合

为了代码上的统一性，可以在开始前，把所有顶点都看成只有一个元素的集合，然后就是不停的合并集合。

集合可以用树的双亲表示法来表示，只需要额外创建一个数组即可。为了简化合并操作，可以每次都只操作两颗树的根结点。

int parent[n];

// 查找树的根结点
int findRoot(int parent[], int key) {
    int root = key;
    while (parent[root] != -1) {
        root = parent[root];
    }
    return root;
}
// 合并树
int unionVertex(int parent[], int x, int y) {
    int lRoot = findRoot(parent, x);
    int rRoot = findRoot(parent, y);
    // 两个结点的根结点为同一个，则这两个结点属于同一棵树
    if (lRoot == rRoot) {
        return 0;
    }
    // 否则，合并树，这里直接把左树作为右树的子树，可能会导致不平衡
    parent[lRoot] = rRoot;
}

代码

为了在每次合并时，尽可能保证树的平衡，再创建一个数组保存树的高度，合并时将高度低的树作为子树即可。

#include <stdio.h>

void init(int parent[], int height[], int count) {
    int i;
    for (i = 0; i < count; i++)  {
        parent[i] = -1;
        height[i] = 0;
    }
}

int findRoot(int parent[], int key) {
    int root = key;
    while (parent[root] != -1) {
        root = parent[root];
    }
    return root;
}

int unionVertex(int parent[], int height[], int x, int y) {
    int lRoot = findRoot(parent, x);
    int rRoot = findRoot(parent, y);
    if (lRoot == rRoot) {
        return 0;
    }
    // parent[lRoot] = rRoot;
    if (height[lRoot] < height[rRoot]) {
        parent[lRoot] = rRoot;
    } else if (height[rRoot] < height[lRoot]) {
        parent[rRoot] = lRoot;
    } else {
        parent[lRoot] = rRoot;
        height[rRoot]++;
    }
    return 1;
}

int main(void) {
    int edgeCount = 6, vertexCount = 5;
    int i;
    // 图中的边
    int graph[5][2] = {
        {0, 1}, {2, 4}, {1, 2}, {1, 3}, 
        {2, 5}
    };
    int parent[edgeCount];
    int height[edgeCount];
    
    init(parent, height, edgeCount);

    for (i = 0; i < vertexCount; i++) {
        int ret = unionVertex(parent, height, graph[i][0], graph[i][1]);
        if (ret == 0) {
            printf("%d, %d\n", graph[i][0], graph[i][1]);
            printf("find cycle!\n");
            return 0;
        }
    }
    
    printf("no find cycle!\n");
    for (i = 0; i < vertexCount; i++)  {
        printf("%d's parent is: %d\n", i, parent[i]);
    }
    for (i = 0; i < vertexCount; i++)  {
        printf("%d's height is: %d\n", i, height[i]);
    }
    
    return 0;
}

执行结果：

no find cycle!
0's parent is: 1
1's parent is: 4
2's parent is: 4
3's parent is: 4
4's parent is: -1
0's height is: 0
1's height is: 1
2's height is: 0
3's height is: 0
4's height is: 2