数字图像处理（一）--- 不可不知的基础讲义

前言：

• 为什么要知道数字图像处理？
  基于现代计算机的快速发展，而计算机的处理也都是基于离散的，故对于图像处理，必须知道数字图像处理。

• 为什么要学习数字图像处理？
  -* 你是否遇见过照片不清晰，曝光度不够，画面暗淡，色彩对比不明显？

• 他能干什么？
  -* 图像增强：
  -* 图像复原：
  -* 图像压缩：
  -* 图像分割：
  -* 图像描述：
  等等。。。具体示例会在后续博客里详细介绍。

俗学不悟元中窍 丢却另寻哪得醒
尽己所能完善，学习！得其精髓！

1.图像的认识

1.1 什么是图像

    “图”是物体反射或透射光的分布。“像”是人的视觉系统所接受的图在人脑中所形成的印象或认识。
    图像就是所有具有视觉效果的画面，是各种图形和影像的总称。
    图像是客观对象的一种相似性的、生动性的描述或写真，是人类社会活动中最常用的信息载体。或者说图像是客观对象的一种表示，它包含了被描述对象的有关信息。它是人们最主要的信息源。据统计，一个人获取的信息大约有75%来自视觉。

1.2 一幅图像的数学方法描述

$I = f(x,y,z,λ,t)$
   其中 $x、y、z$是空间坐标， $λ$是波长， $t$是时间， $I$是光强度。
   对静态图像， $t$为常数。对单色图像， $λ$为常数。对平面图像， $z$为常数。
   对于静态平面单色图像，其数学表达式可以简化为： $I = f(x,y)$
   人类的感知只限于电磁波谱的视觉波段，成像机器则可以覆盖几乎全部电磁波谱。

1.3 数字图像

分类：

• 模拟图像：空间和灰度都连续的图像，典型代表是由光学透镜系统获取的图像，如人物照片、景物照片、图形、X光照片等
• 数字图像：把模拟图像用数字表示出来，用数字表示的图像就是数字图像。
  把模拟图像经过离散化处理得到数字图像的过程，叫图像的数字化，包括采样和量化两个过程。
  -* 采样：在空间上把图像分割成一块块小区域（像素），每个像素都有一个二维坐标（整数）。采样越少，图像清晰度越低，类似于马赛克效应。
  
  -* 量化：每个像素的亮度或灰度值被映射到相应的灰度级，每级灰度一般用一个整数来表示。一般用8bit表示灰度图像像素的灰度值，则量化灰度等级L=256，取值范围是0~255的整数，如此成为8bit量化。量化越少，图像的灰度值分割越少，图像对比度越明显，但是会减少图像的细节信息，故对于有大量细节的图像需要较多的灰度级。
  

模拟图像经采样与量化后可以用一个矩阵来表示：
$f(x,y ) = \begin{bmatrix} f(0,0) & f(0,1) & ... & f(0,N-1) \\ f(1,0) & f(1,1) & ... & f(1,N-1) \\ ... & ... & ... & ... \\ f(M-1,0) & f(M-1,1) & ... & f(M-1,N-1) \end{bmatrix}$
$f(x,y)$被称为数字图像，矩阵中的每一个元素即为像素，元素的位置与像素点位置相对应，其值的大小是该像素的灰度值

1.4 数字图像的分类

• 灰度图像：灰度图像矩阵元素的取值范围通常为 $[0,255]$，其数据类型一般为8位无符号整数，即256级灰度图像。“0”表示纯黑色，“255”表示纯白色，中间的数字从小到大表示由黑到白的过渡色。
• 二值图像：灰度值只由0、1两个值构成，“0”代表黑色，“1”代表白色。二值图像可以看成是灰度图像的一个特例。
• 彩色图像—>
  -* RGB模型：大多数彩色可有适当选择的三种基色混合产生，这就是三基色原理。它分别用红（R）、绿（G）、蓝（B）三基色的组合来表示每个像素的颜色。每个颜色分量的数据类型一般为8位无符号整型。
  
  -* CMYK模型：CMYK颜色模型包括青(cyan)、品红(magenta)、黄(yellow)和黑(black)，为避免与蓝色混淆，黑色用K表示。青、品红、黄分别是红、绿、蓝三基色的互补色。彩色打印、印刷等应用领域采用打印墨水、彩色涂料的反射光来显现颜色，是一种减色方式。 彩色打印机和彩色印刷都是采用这个原理。由于彩色墨水和颜料的化学特性，用等量的三种基色得到的黑色不是真正的黑色，因此在印刷术中加入一种真正的黑色，所以通常把CMY模型写成CMYK。
  
  -* HSI（HSV）模型：色调H是描述纯色的属性，如红色、绿、蓝等。饱和度S表示的是一种纯色被白光稀释的程度的度量。亮度I体现了无色的光强度的概念，是一个主观的描述。
  
  -* 两个相似的概念：HSI和HSV空间。HSV里面的V指的是RGB里面的最大值， $v = max(r,g,b)$；而HSI的I是平均值， $I = (r+g+b)/3$。

2.像素间的基本关系

    一幅图像 $f(x,y)$由基本单元像素组成，像素间存在着一定的联系，包括像素的邻域、邻接、连通和像素间的距离。一般地，当指定某个特定的像素时用小写字母（如 $p$）表示。而 $xy$轴的定义和增减参考上述矩阵！

2.1 邻域

邻域处理方法是图像增强和复原的核心

    在一幅图像 $f(x,y)$中，一个坐标为 $(x,y)$的像素 $p$的邻近像素组成了该像素的邻域。根据邻近像素的不同定义，可得不同的邻域：

• 4-邻域
  坐标为 $(x,y)$的像素 $p$有4个水平和垂直的相邻像素，坐标分别为： $(x-1,y)$ $(x,y-1) ,(x,y+1)$ $(x+1,y)$这个像素集称为p的4邻域，用 $N_4(p)$表示，如下图所示：

• 对角邻域
  坐标为 $(x,y)$的像素 $p$有4个对角方向相邻像素，坐标分别为： $(x-1,y-1),(x-1,y+1)$ $(x+1,y-1),(x+1,y+1)$用 $N_D(p)$表示，如下图所示：

• 8-邻域
  坐标为 $(x,y)$的像素 $p$有水平、垂直和对角的8个相邻像素，坐标分别为： $(x-1,y-1),(x-1,y),(x-1,y+1)$ $(x,y-1),(x,y+1)$ $(x+1,y-1),(x+1,y),(x+1,y+1)$这个像素集称为 $p$的8邻域，用 $N_8(p)$表示，如下图所示：

    那么可知： $N_8(p)=N_4(p)∪N_D(p)$

2.2 邻接

    对于任意两个像素，若一个像素在另一个像素的邻域中，且它们的灰度值满足特定的相似准则（例如属于某一个灰度值集合），则称这两个像素是邻接的，有3种像素的邻接：

• 4-邻接
  如果 $q$在 $N_4(p)$中，满足灰度值条件为集合 $V$，那么这两个像素 $p$和 $q$是4邻接。
  例： $V=\{1\}$，且 $p、q$的灰度值都为1。

• 8-邻接：
  如果 $q$在 $N_8(p)$中，满足灰度值条件为集合 $V$的两个像素 $p$和 $q$是8邻接的。
  例： $V=\{1\}$，且 $p、q$的灰度值都为1。

• $m$-邻接：
  灰度值满足集合 $V$的像素 $p$和 $q$，若符合下列两个条件之一：
  -* a： $q$在 $p$的4邻域中；
  -* b： $q$在 $p$的对角邻域中，并且 $q$的4邻域和 $p$的4邻域交集像素中没有任何灰度值属于 $V$。
  则称 $p、q$两点是 $m$邻接。
  例： $V=\{1\}$，且 $p、q$的灰度值都为1。

     $m$-邻接的作用：消除8-邻接的二义性。
    如何看？（采用一种邻接方式是不可更改的）①当使用8-邻接的时候，从 $p$到 $q$有两条通路：直达或从上面的1连通。这都是符合8-邻接的定义，从而产生二义性，这在图像的边缘检测里是很不希望的。②当使用 $m$-邻接的时候，从 $p$到 $q$仅有一条通路：因为 $q$和 $p$都在对方的对角邻域，触发b条件，但是它们4-邻域的交集像素中有一个1属于集合 $V$，而条件需要的是没有在交集 $V$里，故不符合b条件，那么这条路就不通。而 $p$到上面的1触发a条件成立，1又与 $q$达成a条件，故仅有一条通路，可消除8-邻域的二义性。
    还有一个，可能会有人疑惑为什么 $m$-邻域里的a条件不是和4-邻域重合了吗？会不会a条件是多余的，或者4-邻域是不必要的？其实不是，因为：①通路的方式只有一种邻接方式，选了 $m$-邻域就不能再用4-邻域。② $m$-邻域包含a条件是必要的，不然无法达到取消8-邻域二义性的效果， $m$-邻域的主要作用就是消除8-邻域的二义性。

2.3 连通

    设 $p(x,y)$与 $q(s,t)$之间存在的一条通路，由像素序列组成： $(x_0,y_0),(x_1,y_1),∧,(x_n,y_n)$
    其中 $(x_i,y_i)$与 $(x_{i-1},y_{i-1})(1 \leq i\leq n)$相邻接。
$(x,y)=(x_0,y_0)，(s,t)=(x_n,y_n)$
     $n$称为通路的长度，根据邻接类型，分为：4-通路、8-通路和 $m$-通路。
    如果 $(x_0,y_0)=(x_n,y_n)$，则该通路是闭合通路。
    若像素 $p$和 $q$存在一条通路，则称 $p$和 $q$是连通的，根据通路类型，分为4-连通、8-连通和 $m$-连通。

2.4 距离（范数定义）

    对于像素 $p(x,y)、q(s,t)$和 $r(u,v)$，当：

• a： $D(p,q)\geq 0$，（当且仅当 $p=q$时等号成立）；
• b： $D(p,q)=D(q,p)$；
• c： $D(p,r)\leq D(p,q)+D(q,r)$

    则称函数D为距离或度量函数，常见的距离函数D有欧式距离、城区距离、棋盘距离。

• 欧式距离
  是范数为2的距离。
  像素 $p(x,y)$和像素 $q(s,t)$之间的欧式距离为
  $D_e(p,q)=\sqrt[]{(x-s)^2+(y-t)^2}$
  距离 $p$的欧式距离小于或等于某一值 $R$的像素都包含在以 $p$为圆心且半径为 $R$的圆内。
• 城区距离（曼哈顿距离）
  是范数为1的距离。
  定义如下：
  $D_4(p,q)=|x-s|+|y-t|$
  距 $p$的 $D_4$距离小于或等于某一值 $R$的像素在以 $p$为中心的菱形区域内。例如当 $R=2$时，菱形距离区域为：

     上图的数字表示所在点像素到中心像素的距离。

• 棋盘距离
  是范数为 $∞$的距离。
  定义如下：
  $D_8(p,q)=max(|x-s|,|y-t|)$
  距 $p$的 $D_8$距离小于或等于某一值 $R$的像素，在以 $p$为中心的正方形区域内。例如当 $R=2$时，棋盘距离区域为：

     上图的数字表示所在点像素到中心像素的距离。

    欧式距离给出的结果比较准确，但计算时要进行平方和开方运算，计算量大。城区距离和棋盘距离均为非欧式距离，计算量小，但有一定误差。