中国剩余定理及其代码实现

初等数论学习计划

中国剩余定理

部分源自于维基百科. 后续会继续补充修改.
初等数论四大定理之一.

1.1 历史背景与特殊情形口诀

中国剩余定理，又称中国余数定理，是数论中的一个关于一元线性同余方程组的定理，说明了一元线性同余方程组有解的准则 以及求解方法。也称为孙子定理.

一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作**《孙子算经》**卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：
有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？

即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。

《孙子算经》中首次提到了同余方程组问题，以及以上具体问题的解法，因此在中文数学文献中也会将中国剩余定理称为孙子定理。
宋朝数学家秦九韶于1247年《数书九章》卷一、二《大衍类》对“物不知数”问题做出了完整系统的解答。明朝数学家程大位在《算法统宗》中将解法编成易于上口的《孙子歌诀》[1]：
三人同行七十希，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知
这个歌诀给出了模数为 3、5、7 时候的同余方程的秦九韶解法。意思是：将除以3得到的余数乘以70，将除以5得到的余数乘以21，将除以7得到的余数乘以15，全部加起来后再减去105或者105的整数倍，得到的数就是答案（除以105得到的余数则为最小答案）。比如说在以上的物不知数问题里面，使用以上的方法计算就得到
$70 \times 2 + 21 \times 3 + 15 \times 2 = 233 = 2\times 105 +23.$ 因此按歌诀求出的结果就是23.

1.2 数学语言描述

用现代数学的语言来说明的话，中国剩余定理给出了以下的一元线性同余方程组：

$(S) : \quad \left\{ \begin{matrix} x \equiv a_1 \pmod {m_1} \\ x \equiv a_2 \pmod {m_2} \\ \vdots \qquad\qquad\qquad \\ x \equiv a_n \pmod {m_n} \end{matrix} \right.$
有解的判定条件，并用构造法给出了在有解情况下解的具体形式。

中国剩余定理说明：假设整数 $m_1, m_2, ... , m_n$ 其中任两数互质，则对任意的整数： $a_1, a_2, ... , a_n$ ，方程组 $(S)$ 有解，并且通解可以用如下方式构造得到：

(i) 设 $M=m_{1}\times m_{2}\times \cdots \times m_{n}=\prod _{i=1}^{n}m_{i}$ 是整数 $m_1, m_2, ... , m_n$ 的乘积，并设 $M_{i}=M/m_{i},\;\;\forall i \in \{1,2,\cdots ,n\}$ ，即 $M_{i}$ 是除了 $m_i$ 以外的 $n − 1$ 个整数的乘积。

(ii)

设 $t_{i}=M_{i}^{-1}$ 为 $M_{i}$ 模 $m_i$ 的数论倒数： $t_{i}M_{i}\equiv 1{\pmod {m_{i}}},\;\;\forall i\in \{1,2,\cdots ,n\}.$ .

数论倒数，即模逆元也称为模倒数。

一整数 $a$ 对同余 $n$ 之模逆元是指满足以下公式的整数 $a^{{-1}}\equiv b{\pmod {n}}$ . 也可以写成以下的式子
$ab\equiv 1{\pmod {n}}.$ 整数 $a$ 对模数 $n$ 之模逆元存在的充分必要条件是 $a$ 和 $n$ 互素，

(iii)
方程组 $(S)$ 的通解形式为：
$x=a_{1}t_{1}M_{1}+a_{2}t_{2}M_{2}+\cdots +a_{n}t_{n}M_{n}+kM=kM+\sum _{i=1}^{n}a_{i}t_{i}M_{i},\quad k\in \mathbb {Z} .$ 在模 $M$ 的意义下，方程组 $(S)$ 只有一个解： $x=\sum _{i=1}^{n}a_{i}t_{i}M_{i}.$ .

例子
使用中国剩余定理来求解上面的“物不知数”问题，便可以理解《孙子歌诀》中的数字含义。这里的线性同余方程组是：

$(S):\quad \left\{{\begin{matrix}x\equiv 2{\pmod {3}}\\x\equiv 3{\pmod {5}}\\x\equiv 2{\pmod {7}}\end{matrix}}\right.$
三个模数 $m_1=3, m_2=5, m_3=7$ 的乘积是 $M=105$ ，对应的 $M_1=35, M_2=21, M_3=15$ . 而可以计算出相应的数论倒数： $t_1=2, t_2=1, t_3=1$ . 所以《孙子歌诀》中的 70、21 和 15 其实是这个“物不知数”问题的基础解：

$70=2\times 35\equiv \left\{{\begin{matrix}1{\pmod {3}}\\0{\pmod {5}}\\0{\pmod {7}}\end{matrix}},\right.21=1\times 21\equiv \left\{{\begin{matrix}0{\pmod {3}}\\1{\pmod {5}}\\0{\pmod {7}}\end{matrix}},\right.15=1\times 15\equiv \left\{{\begin{matrix}0{\pmod {3}}\\0{\pmod {5}}\\1{\pmod {7}}\end{matrix}},\right.$
而将原方程组中的余数相应地乘到这三个基础解上，再加起来，其和就是原方程组的解：

$2\times 70+3\times 21+2\times 15\equiv \left\{{\begin{matrix}2\times 1+3\times 0+2\times 0\equiv 2{\pmod {3}}\\2\times 0+3\times 1+2\times 0\equiv 3{\pmod {5}}\\2\times 0+3\times 0+2\times 1\equiv 2{\pmod {7}}\end{matrix}},\right.$
这个和是 233，实际上原方程组的通解公式为：

$x=233+k\times 105,\;k\in \mathbb {Z}$
《孙子算经》中实际上给出了最小正整数解，也就是 ${\displaystyle k=-2} 时的解：{\displaystyle x=23}.$

1.3 程序化计算机辅助求解

观察中国剩余定理的求解很程式化，自然可以用编程语言实现, 可以试试. 这里提供Python3代码.

from functools import reduce
def chinese_remainder(n, a):
    sum = 0
    prod = reduce(lambda a, b: a*b, n)
    for n_i, a_i in zip(n, a):
        p = prod // n_i
        sum += a_i * mul_inv(p, n_i) * p
    return sum % prod`
 
 
 
def mul_inv(a, b):
    b0 = b
    x0, x1 = 0, 1
    if b == 1: return 1
    while a > 1:
        q = a // b
        a, b = b, a%b
        x0, x1 = x1 - q * x0, x0
    if x1 < 0: x1 += b0
    return x1

我们带入孙子算经的例子进去：


if __name__ == '__main__':
   n = [3, 5, 7]
   a = [2, 3, 2]
   print(chinese_remainder(n, a))

运行结果为23.

Mathematica 里的ChineseRemainder函数可以方便使用. 比如针对孙子歌诀的习题, 我们可以如下操作，得到最小正整数解23.
在这里插入图片描述

如果想找大于23的最小正整数解，可以增加一个参数.
在这里插入图片描述

如果我们想找小于2020的所有满足要求的正整数解：（下面截图不全)

在这里插入图片描述

稍加改造，代码将会清楚一些：符合要求的解的个数
在这里插入图片描述
前10个正整数数解(从小到大）.

代码文本：

#1
l = 0;
Reap[While[l < 2020, l = ChineseRemainder[{2, 3, 2}, {3, 5, 7}, l]; 
   If[l < 2020, Sow[l]]; l++]][[2, 1]]
#2   
s = 0;
Do[Print[s = ChineseRemainder[{2, 3, 2}, {3, 5, 7}, s]]; 
 s = s + 1, 10]

更多有趣的可以参考 https://zhuanlan.zhihu.com/p/35727703

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