实验目的：
1.Matlab中多项式的表示及多项式运算
2.用Matlab实现拉格朗日及牛顿插值法
3.用多项式插值法拟合数据
实验要求：
1.掌握多项式的表示和运算
2.拉格朗日插值法的实现（参见吕同富版教材）
3.牛顿插值法的实现（参见吕同富版教材）
实验内容：
1.多项式的表达式和创建；多项式的四则运算、导数与积分。
2.用Matlab实现拉格朗日及牛顿插值法。
3.用多项式插值法拟合数据。
实验步骤：
1.多项式的表达式，MATLAB中使用以为向量来表示多项式，将多项式的系数按照降幂次序存放在向量中。多项式P(x)的具体表示方法：
的系数构成向量为：
。示例如下：
将向量表示的多项式用字符串输出的通用函数示例：
例子
运行示例：
多项式的加法：
结果是
多项式乘法：
结果是
多项式除法：
多项式导数：
2.用Matlab实现拉格朗日，拉格朗日代码：
1 function yi=Lagrange(x,y,xi) 2 m=length(x);n=length(y);p=length(xi); 3 if m~=n 4 error('向量x与y的长度必须一致'); 5 end 6 s=0; 7 for k=1:n 8 t=ones(1,p); 9 for j=1:n 10 if j~=k 11 t=t.*(xi-x(j))./(x(k)-x(j)); 12 end 13 end 14 s=s+t.*y(k); 15 end 16 yi=s; 17 end
运行示例：
牛顿插值法代码：
1 function yi=newtonint(x,y,xi) 2 m=length(x);n=length(y); 3 if m~=n 4 error('向量x与y的长度必须一致'); 5 end 6 A=zeros(n); 7 A(:,1)=y; 8 for j=2:n%j为列标 9 for i=1:(n-j+1) %i为行标 10 A(i,j)=(A(i+1,j-1)-A(i,j-1))/(x(i+j-1)-x(i));%计算差商表 11 end 12 end 13 %根据差商表,求对应的牛顿插值多项式在x=xi处的值yi 14 N(1)=A(1,1); 15 for j=2:n 16 T=1; 17 for i=1:j-1 18 T=T*(xi-x(i)); 19 end 20 N(j)=A(1,j)*T; 21 end 22 yi=sum(N); %将x=xi带入牛顿插值多项式，得到的yi的值 23 %A 输出差商表 24 end
运行实例：
等距节点的牛顿向后插值代码：
1 function yi=newtonint1(x,y,xi) 2 h=x(2)-x(1);t=(xi-x(1))/h; 3 n=length(y);Y=zeros(n);Y(:,1)=y'; 4 for k=1:n-1 5 Y(:,k+1)=[diff(y',k);zeros(k,1)]; 6 end 7 yi=Y(1,1); 8 for i=1:n-1 9 z=t; 10 for k=1:i-1 11 z=z*(t-k); 12 end 13 yi=yi+Y(1,i+1)*z/prod([1:i]); 14 end
运行实例：
等距节点的牛顿向前插值代码：
1 function yi=newtonint2(x,y,xi) 2 n=length(x);h=x(n)-x(n-1);t=(x(n)-xi)/h; 3 n=length(y);Y=zeros(n);Y(:,1)=y'; 4 for k=1:n-1 5 Y(:,k+1)=[zeros(k,1);diff(y',k)]; 6 end 7 h=x(n)-x(n-1);t=(x(n)-xi)/h;yi=Y(n,1); 8 for i=1:n-1 9 z=t; 10 for k=1:i-1 11 z=z*(t-k); 12 end 13 yi=yi+Y(n,i+1)*(-1)^i*z/prod([1:i]); 14 end
运行示例：
3.使用4次牛顿插值多项式插值，并作图：
解：由4次牛顿插值多项式，
求上述多项式的系数：（修改newtonint.m代码，得到差商表），代码如下：
1 function B=newtonint4(x,y) 2 m=length(x);n=length(y); 3 if m~=n 4 error('向量x与y的长度必须一致'); 5 end 6 A=zeros(n); 7 A(:,1)=y; 8 for j=2:n%j为列标 9 for i=1:(n-j+1) %i为行标 10 A(i,j)=(A(i+1,j-1)-A(i,j-1))/(x(i+j-1)-x(i));%计算差商表 11 end 12 end 13 B=A; 14 end
代入数据得到差商表：
| 0.98 |
-0.3 |
-0.625 |
-0.2083 |
-0.5208 |
| 0.92 |
-0.55 |
-0.75 |
-0.625 |
0 |
| 0.81 |
-0.85 |
-1.125 |
0 |
0 |
| 0.64 |
-1.3 |
0 |
0 |
0 |
| 0.38 |
0 |
0 |
0 |
0 |
已知，第一行的便是插值多项式的系数，代入插值多项式：
并作出图像：
1 x0=[0.2 0.4 0.6 0.8 1.0]; 2 y0=[0.98 0.92 0.81 0.64 0.38]; 3 plot(x0,y0,'b-o') 4 hold on 5 k=0:1:10; 6 x=0.2+0.08*k; 7 for i=1:1:11 8 y(i)=0.98-0.3*(x(i)-0.2)-0.625*(x(i)-0.2)*(x(i)-0.4)-0.2083333*(x(i)-0.2)*(x(i)-0.4)*(x(i)-0.6)-0.520833333*(x(i)-0.2)*(x(i)-0.4)*(x(i)-0.6)*(x(i)-0.8); 9 end 10 plot(x,y,'r-o'); 11 legend('原图像','4次插值图像');
小结：
在编写牛顿插值的代码时，我遇到了超出元组索引的问题。我在MATLAB的提示下（它的提示是英语），如图：
这个f是使用迭代来求差商的，但是出现了问题。我根据它的提示创建了一个全零数组用于存储运算得到的差商，在某种程度上解决了这个问题。
在解决第3题时，我特意编写了一个算差商的程序和一个4次牛顿插值多项式代入数据画图的程序。差商的程序是修改第2题的牛顿插值程序得到的，这在一定程度上说明，一个程序的功能是可以分开的同时也可以写在一起的。但在写4次多项式代入画图的程序时，并没有参考的我，只能回看书本关于4次牛顿插值的知识，我得到了这个牛顿插值多项式的公式，并发现它的关键就是每一项的系数，而那些系数就是算得的差商，所以，很快，我就写出了4次多项式代入画图的程序。很开心的是，算得的多项式拟合得很好。